[家里蹲大学数学杂志]第252期北京师范大学2009年数学分析高等代数考研试题

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1求 $\dps{\iint_D |x|\rd x\rd y}$, 其中 $D$ 为三角形 $\lap ABC:\ A(-2,0),B(1,1),C(2,3)$.

2把 $\dps{\iiint_Vf(x,y,z)\rd x\rd y\rd z}$ 化为累次积分, 其中 $f(x,y,z)$ 为连续函数, $V$ 为四面体: $P(2,2,0), A(-2,0,0), B(0,0,2), C(1,1,3)$.

3求 $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}}$.

4设函数 $f$ 处处可导, 证明若 $f‘$ 有间断点, 则一定为第二类间断点.

5 设 $\sed{a_n}$ 为实数列, $$\bex S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,\quad \sigma_n=\frac{1}{n+1}(S_1+S_2+\cdots+S_n). \eex$$ 已知级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty |S_n-\sigma_n|^2}$ 收敛, 求证: $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ 收敛.

6求证: $$\bex \sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to \infty}\cos\frac{x}{2^n}=\ln\frac{\sin x}{x},\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \tan\frac{x}{2^n}=\frac{1}{x}-\cot x. \eex$$

7已知 $f$ 连续, $\dps{\lim_{t\to x}f(t)=f(x)}$. 证明: $f$ Riemann 可积.

8设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵, 则存在 $n\times m$ 矩阵 $B$ 使得 $AB=E_m$ 的充要条件是 $\rank(A)=m$.

9设 $A$ 是三阶矩阵, $\rank(A)=2$, 其有二重特征值 $\lambda_1=\lambda_2=6$, 且属于 $\lambda_1=\lambda_2=6$ 的线性无关的特征向量有 $$\bex \alpha_1=(1,1,0)^t,\quad \alpha_2=(2,1,1)^t. \eex$$ 求矩阵 $A$.

10已知 $\sigma$ 为对称变换, $V$ 是一个空间, $W$ 是 $V$ 的一个子空间, 试证: $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间.

11已知 $A,B$ 为复矩阵, $A^{n-2}=B^{n-2}\neq 0$, $A^{n-1}=B^{n-1}=0$. 求证: $A,B$ 相似. 

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[家里蹲大学数学杂志]第252期北京师范大学2009年数学分析高等代数考研试题

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