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想学时间序列，由于是自学，所以打算先理论，而实践（结合R）
以下为学习差分方程的总结第一部分。
差分方程的具体应用实例：
远期合约的误差修正模型。
经济学中的蛛网模型。
（一）解一阶差分方程：
（1）初始条件已知（让y0是一个具体的值），把系数a0，a1看作已知，不断地向前迭代(当然也可以向后迭代，但出于习惯，我并不建议)，最终将yt，表示为a0，a1和y0，以及efshow的一个表达式。
（2）
情形1：
初始条件未知。在（1）的基础上，代入y0（表示成y(-1)的函数），不断向后迭代（向后m次），得到：
让系数|a1|<1，让m趋于无穷，得到y(t)，被表示为a0，a1以及efshow的一个表达式。
情形2：
此时情形1得到的解，还可以加上一个
，肯定也是方程的解。其中A为一个任意常数。
（3）混合解，不过是在（2）中情形2得到的解，加上初始条件y0，这样可以解出A的具体值。
那么相应地（2）中的解就为：
（这个时候，这个混合解其实是和（1）的结果是一样的，因为初始值已知我们还不如用（1）的方法解更简单呢~）
|a1|<1，解才收敛。
|a1|>1，则将是发散的。（发散的话，预测肯定是不准的了）
（请见用R作图）
（二）备选解法：
必是一阶齐次方程的一个解。所谓齐次方程，即无常数项且无推动过程。
高阶差分方程：
使用迭代法的表达式异常复杂，所以我们需要备选解法。
如何解非齐次方程：
1写出对应的齐次方程：
求出他的n个独立解。
2写出非齐次的一个特解
3特解加上n个齐次解的线性组合（出现任意常数）
4代入初始条件，接触容易常数A
（三）二阶差分方程：
二阶非齐次差分方程：
先写出二阶齐次差分方程
因为
必是其解，代入齐次差分方程，然后消去，就得到了特征方程。
然后根据特征方程的判别式d分类讨论。
（1）d>0
（注意是阿尔法，而不是a，阿尔法1和阿尔法2是第1个特征根/第2个特征根的意思，而a0，a1，a2是系数，之所以一阶方程中有，那不过是因为其特征方程的解（即特征根）恰好等于a1罢了）
（2）d=0
（3）d<0
使：
，
则有：
棣莫弗定理：
又令：
那么：
于是
解可以写为：
（妙在消掉了虚部）
最终其可以写为：
（注意，这是一个实数，beta1/2为任意常数，因为虚数无预测意义，所以我们才做了这么多转换）
因为d<0,所以：
因为解的形式，所以r决定了振幅，θ决定了周期（/频率）。
即a2,决定r，而r决定了解是否收敛。
图解表示：
特征根在单位圆之内：
因为此时标准阿尔法1,2,3....都是小于1，那么d>0，和d=0，其解的形式都是肯定收敛的
而位于单位元之内，则r也会<1，那么d<1，也是收敛的。
而特征根为1，其幂始终为1。
第一章时间序列基础——差分方程和求解（一）
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原文地址：http://www.cnblogs.com/xuanlvshu/p/5396901.html
