机器学习笔记02：多元线性回归、梯度下降和Normal equation

在《机器学习笔记01》中已经讲了关于单变量的线性回归以及梯度下降法。今天这篇文章作为之前的扩展，讨论多变量（特征）的线性回归问题、多变量梯度下降、Normal equation（矩阵方程法），以及其中需要注意的问题。

单元线性回归

首先来回顾一下单变量线性回归的假设函数:

Size($feet^2$)	Price($\$$1000)
2104	460
1416	232
1534	315
852	178
…	…

我们的假设函数为 $h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x$

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多元线性回归

下面介绍多元线性回归(Linear Regression with Multiple features/variables)。同样以预测房价为例，假设我们对房价的预测涉及到4个因素：Size、Number of bedrooms、Number of floors、Age of house。假设我们的训练集如下：

Size($feet^2$)	Number of bedrooms	Number of floors	Age of house(years)	Price($\$$1000)
2104	5	1	43	460
1416	3	2	40	232
1534	3	2	30	315
852	2	1	36	178
…	…	…	…	…

符号说明（Notation）：

符号	含义
$n$	number of features(特征的数量，上表中为4)
$x^{(i)}$	input(features) of $i^{th}$ training example(第$i$组训练数据，比如$x^2$表示上表中第二行)
$x_j^{i}$	value of feature j in $i^{th}$ training example(第$i$组训练接的第$j$个特征值，比如$x_2^3$表示上表中的第三行第二列的值2)
$m$	number of training examples(训练集样本的数量，比如上表为4)

1、假设函数(Hypothesis function)

既然是线性回归，我们的假设函数当然应该是一条直线：

$$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x_1+\theta_2 x_2+\theta_3 x_3+...+\theta_n x_n$$ 或者 $$h_\theta(x)=\theta_0 x_0+\theta_1 x_1+\theta_2 x_2+\theta_3 x_3+...+\theta_n x_n$$ 其中$x_0$始终为1。所以上面两个函数是等价的。
为了方便，我们记
$$X=\left[ \begin{matrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{matrix} \right];\quad \theta=\left[\begin{matrix} \theta_0 \\ \theta_1 \\ \theta_2 \\ ... \\ \theta_n \end{matrix}\right]$$
所以有
$$\begin{align} h_\theta(x) &= \theta_0+\theta_1 x_1+\theta_2 x_2+\theta_3 x_3+...+\theta_n x_n \&= \left[\begin{matrix} \theta_0 & \theta_1 & \theta_2 & ... & \theta_n \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{matrix} \right] \&= \theta^{T}X \end{align}$$
其中，$\theta^T$是一个规模为$1\times(n+1)$的矩阵，$X$是一个规模为$(n+1)\times1$的矩阵。假设函数的说明就到这里，下面我们来看看多变量的梯度下降法。

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2、多变量梯度下降(Gradient descent for Multiple Variables)

　　1.假设函数(Hypothesis function)：

$$\begin{align} h_\theta(x) &= \theta_0+\theta_1 x_1+\theta_2 x_2+\theta_3 x_3+...+\theta_n x_n \&= \theta^{T}X \end{align}$$
　　2.误差函数(Cost function)： $$J(\theta_0,\theta_1,...,\theta_n)=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$ $$J(\theta)=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (\theta^Tx^{(i)}-y^{(i)})^2$$ $$J(\theta)=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (\sum_{j=0}^n\theta_j x_j^{(i)})-y^{(i)})^2$$
注意：上面三种形式都是等价的。

在单元线性回归中，我们只对$\theta_0$和$\theta_1$使用了梯度下降法，在多元变量的梯度下降中，我们将对每个$\theta$都求偏导。其形式如下：

Repeat until convergence:{ //重复直到收敛
$$\theta_j = \theta_j-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)$$ } (Notice: simultaneously update $\theta_j$ for every $j=0,1,2,...,n$)
注意：在一次迭代过程中，必须同时更新每个$\theta$。例如不能在更新了$\theta_1$之后，就把新的$\theta_1$用于更新后面的$\theta_2$，而应该使用上一次迭代产生的$\theta_1$来更新这一次迭代中的$\theta_2$。

上面的 $$\theta_j = \theta_j-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)$$ 等价于 $$\theta_0 = \theta_0-\alpha\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{i}$$ $$\theta_1 = \theta_1-\alpha\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_1^{i}$$ $$\theta_2 = \theta_2-\alpha\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_2^{i}$$ $$...$$ $$\theta_n = \theta_n-\alpha\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_n^{i}$$

在执行足够次数的迭代 (iteration) 之后，我们就能取得最佳的 $\theta_j$ 的值。但是在特征(features)数量很大的情况下会遇到一个问题，那就是梯度下降算法可能会非常的慢，下面来看看原因与解决办法。

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3、特征缩放(Feature scaling)

我们来考虑这样一个实例：还是预测房价，但是假设每个训练样本有两个特征：

	Size($feet^2$)	Number of bedrooms
Range	0-2000	1-5

如果直接进行梯度下降的话，速度可能会非常的慢。至于为什么我们先来看看 $J(\theta)$ 的等高线图(contour):

假如只考虑假设函数的$\theta_1$和$\theta_2$，令 $$h_\theta(x)=\theta_1 x_1+\theta_2 x_2$$ 则 $$J(\theta_1,\theta_2)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^2{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}})^2$$ 由上面这个函数可以看出，因为$x_1$的取值范围很大，即便是$\theta_1$微小的变化，$\theta_1 x_1$的值也可能会发生很大的变化；而因为$x_2$的取值范围较小，即所以在同程度上$\theta_2$的变化，不会使得$\theta_2 x_2$的值发生很大的变化。所以我们得到了刚才那幅等高线图，因此，我们需要一种方法来解决这个问题。我们用的方法很简单，叫做特征缩放（feature scaling）

特征缩放（feature scaling），顾名思义，就是将特征的取值范围进行缩放，我们采用如下公式对特征进行缩放(还是以上面那个例子来解释)：

$$x_1=\frac{Size(feet^2)}{2000} \Longrightarrow 0\le x_1\le 1$$ $$x_2=\frac{Number Of Bedrooms}{5}\Longrightarrow 0 \le x_2 \le 1$$ 当我们对每个特征值进行了类似的缩放之后，我们得到了如下的等高线图：

由此可见，缩放之后的等高线图更接近一个圆，而不是一个很扁的椭圆，这样梯度下降法将运行得更加快速。
另外需要说的是，我们一般会希望将每个特征的范围都缩放到 -1 与 1 之间，并且对于偏离这个范围不太大的特征不进行缩放（当然也可以按自己喜好进行缩放）。例如：

Origin range	Need feature scaling?
$0\le x_1\le3$	not need
$-2\le x_2\le0.5$	not need
$-100\le x_3\le100$	need
$-0,0001\le x_4\le0.0001$	need

上面的need和not need并没有一个准确的界限，大可酌情而定。

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3、均值归一化(Mean normalization)

正如上面提到的，我们希望将每个特征的范围都缩放到 -1 与 1 之间，并且对于偏离这个范围不太大的特征不进行缩放。

Mean normalization的具体方法是用$x_j^{(i)}-\mu_j$来代替$x_j^{(i)}$以将特征的范围大致的约束在0的附近（一般为-1到1），注意我们不必对$x_0^{(i)}=1$进行归一化。其中$\mu_j$表示特征$x_j$的平均值。我们可将均值归一化公式总结为：

$$x_j^{(i)}=\frac{x_j^{(i)}-\mu_j}{S^{(j)}}$$ 其中$\mu_j$的意义已经说明了，$S^{(j)}$表示第$j$个特征的范围。

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4、学习速率 $\alpha$(Learning rate $\alpha$)

关于学习速率 $\alpha$ 我们需要注意两点：

1.确保梯度下降(gradient descent)能够正确地工作。

一方面，我们先来思考一下梯度下降的速率，先来看一个关于梯度下降的图：

注意到，在100次迭代之后，误差还是很大的，在200次迭代之后误差任然很可观，但是在300次迭代之后，误差算是比较小了，在400次迭代之后，误差也比较令人满意。但这里我们的关注点在300和400这两个阶段上，300次迭代之后，我们发现误差还比较令人满意，而却需要花费额外的100次才能使得误差好那么一点点，所以我们可以声明一个低度下降的下界，比如将 $10^{-3}$ 作为一个下降的下界来避免不必要的额外计算花费。但是，这个下界通常是很难选取的。

另一方面，来看看，梯度下降无法正常工作的情况，看图：

出现这三种情况的原因都是因为学习速率 $\alpha$ 过大，只要逐渐减小学习速率 $\alpha$ 直到正常工作即可。至于为什么是学习速率 $\alpha$ 过大，参考《机器学习笔记01》。可以明确的一点是，只要 $\alpha$ 足够小，$J(\theta)$ 会在每次迭代中都减小，但是如果 $\alpha$ 太小的话，梯度下降将会变得很慢。所以我么可以总结如下：

Causes	Results
If $\alpha$ is too small	Slow convergence
If $\alpha$ is too large	$J(\theta)$ may not decrease on every iteration; may not converge

2.如何选取一个合适的 $\alpha$。

如何选取一个合适的 $\alpha$ 关乎到 Gradient descent 的速率。一般的方法如下：
在自己选定的一个大致范围内进行debug。一般间隔为三倍的关系：

$$...,0.001,0.003,0.01,0.03,0.1,0.3,1,...$$ 通过试验，选择一个最佳的学习速率，比如0.03。

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5、特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)

这部分只是额外的一些关于选择假设函数的东西。下面看个例子，还是房价预测。

假设函数为: $$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1\times frontage+\theta_2\times depth$$ 令 $$x=Area=frontage\times depth$$ 则 $$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x$$

假设训练数据的分布如下：

我们可能选则次数更高的函数比如二次函数（红色） $$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x+\theta_2 x^2$$ 但是如图，我们发现二次函数的后半部分明显不符合数据的走向，总不可房子越大，价钱越低吧。
再来看看三次函数（绿色） $$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x+\theta_2 x^2+\theta_3 x^3$$ 这个函数是比较合理的一个，另外还有一个函数也比较合适： $$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x+\theta_2 \sqrt x$$
以上就是关于这个例子的一些候选函数。

另外，我们需要注意一下特征缩放。加入有一个假设函数为:

$$\begin{align} h_\theta(x)&=\theta_0+\theta_1 x+\theta_2 x^2+\theta_3 x^3\&=\theta_0+\theta_1 (size)+\theta_2 (size)^2+\theta_3 (size)^3 \end{align}$$ 他们的范围如下：

features	range
$x_1=(size)$	$1-1,000$
$x_2=(size)^2$	$1-1,000,000$
$x_3=(size)^3$	$1-10^9$

在进行feature scaling的时候一定要注意除以对应的正确的range。

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5、Normal equation(矩阵方程法)

由于篇幅限制，而且normal equation内容较多，所以暂时留个位置在这里，或者会新开一篇。

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上面就是多元变量线性回归的大概内容，希望能帮助到大家。
如有错误，期望您能纠正，留言或者是e-mail：artprog@163.com
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