扩展欧几里得

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　　扩展欧几里得挺早就会了，但是当时不会证明，现在可以自己推导出来了，下面说一下推导过程。

　　首先给你a,b,让你求出一组x,y,满足ax+by=gcd(a,b).这个gcd是很轻松可以得到的，但是x和y呢？其实我们也可以在求gcd的时候顺便得到一组解。

　　先看看我们是怎么求gcd的:ans=gcd(b,a%b),那么最后一步终止条件是什么呢？是b=0,从这里我们可以发现此时，gcd*x+0*y=gcd，这个时候我们可以看出x和y分别是1和0时肯定满足条件。此时我们就得到了终止条件时候的x和y的值了。但是，每一次相邻的x和y有没有什么关系呢？答案是有的，我们令c=gcd(a,b), ax₁+by₁=c, 那么下一步就有ax₂+(a%b)y₂=c, 我们对这一步的公式进行变形。首先可以发现a%b=a-(a/b)*b, 我们带入就得到ax₂+(a-(a/b)*b)y₂=c, 移项合并后就有ay₂+b[x₂-(a/b)*y₂]=c, 因此，我们发现其实x₁=y₂,y₁=x₂-(a/b)*y₂, 依靠这种关系，我们就可以得到一组解了。

int e_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
    long long temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ans;
}

　　当然，我们还要知道怎么得到所有解。这个很容易就可以推导，我直接给出公式: 令A=a/gcd(a,b), B=b/gcd(a,b), 一组解为x₀,y₀, 则所有解为x=x₀+B*t, y=y₀-A*t, t为任意整数。

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原文地址：http://www.cnblogs.com/cons/p/5400541.html