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扩展欧几里得

时间:2014-07-29 15:00:38      阅读:431      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:扩展欧几里得

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

递归代码

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得

基本算法对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,

          必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

证明设 a>b。

1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

2,ab!=0 时,设 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

  根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

   这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

  上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

递归代码:

__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x1,__int64 &y1)
{
    __int64 t,d;
    if(b==0){
        x1=1;
        y1=0;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    t=x1;
    x1=y1;
    y1=t-a/b*y1;
    return d;
}


扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:

(1)求解不定方程;

(2)求解模线性方程(线性同余方程);

(3)求解模的逆元;

补充定理:

1.设a,b,c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0),
则它的任意整数解都可以写成(x0+kb‘,y0-ka‘),其中a‘=a/gcd(a,b),b‘=b/gcd(a,b),k为任意整数
2.定理:若ax+by=g,(g=gcd(a,b),即g是a,b的最大公约数)有整数解bubuko.com,布布扣;则ax+by=c(c是g的倍数)有整数解bubuko.com,布布扣


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扩展欧几里得

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原文地址:http://blog.csdn.net/acm_code/article/details/38232481

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