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2 Learning to Answer Yes/No
2.1 Perceptron Hypothesis Set
根据信用卡问题引入PLA算法。
有以下特征：
抽象一下，成为特征向量x，根据x和权重的w的内积相对于阈值的大小决定输出标签的正负（正则赋予信用卡，负不赋予信用卡）：
具体而言，感知机（perceptron）的假设空间如下：
sign又叫sgn: 当x<0时,sign(x)=-1；当x=0时,sign(x)=0；当x>0时,sign(x)=1。
感知机的假设空间的向量形式：权重向量w和特征向量x的内积=|w|*|x|*cos(Θ)。
x0=1，w0=阈值的相反数。
再具体到二维的Perceptrons：
注意到输出空间是二值的，+1赋予信用卡（红圈圈），-1不赋予信用卡（蓝叉叉）。
实际上，感知机的假设是空间上的一个个超平面。所以，感知机是线性分类器。
做道题：
解答：
2.2 Perceptron Learning Algorithm (PLA)
介绍PLA的具体内容。
本质上PLA是一个在训练集D上不断发现错误，纠正错误的过程。一直到遍历所有实例点，没有被分类错误的点时，算法停止，返回权重向量w。
1. 初始化权重w为w0（w0=0）。
2. 按照顺序序列或者随机序列（考虑方便性，一般是顺序序列），遍历训练集D中的点，找被分类错的点。如果有，纠正w。
3. 重复1和2，直到遍历所有训练样本没有被误分类的点，算法停止。
这里要注意：2中纠正w以后，w接下去遍历剩下的点，而不是重新开始遍历训练集D。
参考：https://class.coursera.org/ntumlone-003/forum/thread?thread_id=164
这里解释算法的步骤2中纠正w：
如果sign()=-1，但是y=+1，也就是说w和x的夹角过大，需要将w向x扳回一些：wt+yn(t)xn(t)相当于上图右上。
如果sign()=+1，但是y=-1，也就是说w和x的夹角过小，需要将w向x扳出一些：wt+yn(t)xn(t)相当于上图右下。
老师的ppt上有关于二维PLA的一个具体运行过程。
权重向量w垂直于分类线。
证明：
方法一：图中的分类线是3维上，以w为法向量的平面与平面上任一点满足w0+w1x1+w2x2=0的平面(1,x1,x2)相交形成的。因此，权重向量w自然垂直于该相交线，也就是垂直于分类线。
方法二：线上任意2个3维点a,b都满足方程wTx=0，那么有wTxa=wTxb=0，所以 wT(xa−xb)=0，也就是说，w 垂直于过a,b的直线。
上面的2个想法可以推广到高维。
参考：https://class.coursera.org/ntumlone-003/forum/thread?thread_id=13
这里有2个问题：
1. PLA的算法一定能停下来吗？
2. 假设能停下来，得到的g与真实的f 到底是否一样？
做道题：
解答：
2.3 Guarantee of PLA
PLA算法一定能停下来。
结论：
证明：
1. 
2. 
3. w0=0（w0也必须为0）。
由1可知 
由2可知 
所以 
参考：https://class.coursera.org/ntumlone-003/forum/thread?thread_id=8
LaTeX中的公式编辑代码：
w_{f}^{T}w_{t} \\
= w_{f}^{T}\left ( w_{t-1}+y_{n\left (t-1\right )}x_{n\left (t-1\right )} \right ) \\
= w_{f}^{T} w_{t-1}+y_{n\left (t-1\right )} w_{f}^{T} x_{n\left (t-1\right )} \\
\geqslant w_{f}^{T} w_{t-1}+ min_{m} \left ( y_{m\left (t-1\right )} w_{f}^{T} x_{m\left (t-1\right )} \right ) \\
\geqslant w_{f}^{T} w_{0}+T*min_{m} \left ( y_{m\left (t-1\right )} w_{f}^{T} x_{m\left (t-1\right )}\right)
\left \| w_{t} \right \|^{2} \\
= \left \| w_{t-1}+y_{n\left (t-1\right )}x_{n\left (t-1\right )} \right \|^{2} \\
= \left \| w_{t-1} \right \|^{2} + \left \| y_{n\left (t-1\right )}x_{n\left (t-1\right )} \right \|^{2} + 2 y_{n\left (t-1\right )} w_{t-1}^{T} x_{n\left (t-1\right )} \\
\leq \left \| w_{t-1} \right \|^{2} + \left \| y_{n\left (t-1\right )}x_{n\left (t-1\right )} \right \|^{2} \\
\leq \left \| w_{t-1} \right \|^{2} + max_{k} \left \| y_{k\left (t-1\right )}x_{k\left (t-1\right )} \right \|^{2} \\
\leq \left \| w_{0} \right \|^{2} + T*max_{k} \left \| y_{k\left (t-1\right )}x_{k\left (t-1\right )} \right \|^{2}
做道题：
解答：
2.4 Non-Separable Data
上面假设的是训练集D是线性可分的，如果训练集D不是线性可分的，PLA怎么运行？
PLA的优缺点：
如果训练集D不是线性可分的，也就是说存在噪音，PLA就需要变成Pocket。
Pocket算法核心将当前犯错最少的权重向量w放在“口袋”里。
1. 事先规定迭代的次数。
2. 随机地在训练集中抽点试错，如果找到被误分类的点，调整wt+1=wt+yn(t)xn(t)。这算一次迭代。
3. 比较“口袋”中的w和新调整的wt+1在整个训练集中误分率，选出误分率低的权重向量放在“口袋”里。
4. 直到达到事先规定迭代的次数，停止。
做道题：
解答：
总结：
下面几篇文章也是关于林老师《机器学习基石》的上课笔记，交叉着看，可以博取众长。
http://blog.csdn.net/xyd0512/article/details/43484651
https://www.douban.com/note/319669984/
http://www.cnblogs.com/ymingjingr/p/4271761.html
http://www.cnblogs.com/HappyAngel/p/3456762.html
http://my.oschina.net/findbill/blog/205805
疑问：感知机中wf和wt的内积越来越大，但是为什么可以说wt的长度增加非常缓慢，使得wf和wt的内积的增加是两者角度的靠近靠近？
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Deribs4/p/5399759.html
