标签：
平衡二叉树和红黑树最差情况分析
1.经典平衡二叉树
平衡二叉树（又称AVL树）是带有平衡条件的二叉查找树，使用最多的定理为：一棵平衡二叉树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差为1的二叉查找树。因为他是二叉树的一种具体应用，所以他同样具有二叉树的性质。例如，一棵满二叉树在第k层最多可拥有个节点（性质1）。一棵树的高度为其从根节点到最底层节点经过的路径数（例如只含一个节点的树的高度为0）（性质2）。并且已被证明，一棵含有N个节点的平衡二叉树的高度最多（粗略来说）为。
下面我们来尝试总结如何得到一个高度差最大的平衡二叉树（查找性能最差）。
由平衡二叉树的定义可知，左子树和右子树最多可以相差1层高度，那么多个在同一层的子树就可以依次以相差1层的方式来递减子树的高度，如下图所示是一个拥有4棵子树的树的层高最大差情形（图1）：
图1
该图虚线框中的子树，最左端的节点树高度为0，最右端的节点树的高度为2，因此该平衡二叉树的内部子树最大高度差为2。
利用这样的性质，我们就可以依次递推，2棵子树可以相差1层，4棵子树可以最高相差2层，8棵子树可以相差3层，16棵子树就可以相差4层......
可得：
n棵子树最大高度差为
进一步分析，假设一棵高为h的平衡二叉树的最高差为m（假设最小的子树高度为0），且m的高度差由n棵子树达成。由平衡二叉树的性质（性质1，2），得式：
最终可以很意外的得到一个简单的结论：
也就是说，一棵高为h的平衡二叉树，其内部子树的最大高度差可以达到（结果取整，不舍入）。举例来说，一棵高度为8的平衡二叉树，其内部子树的最大高度差为4，同理，一棵高度为9的平衡二叉树，其内部子树的最大高度差为5，如下示（图2）：
2.红黑树
历史上AVL树流行的一种变种是红黑树（red black tree）。红黑树也是许多编程语言底层实现采纳较多的数据结构（例如Java的TreeSet和TreeMap实现）。红黑树是具有下列着色性质的二叉查找树：
1.每一个节点或为黑色或为红色。
2.根节点时黑色的。
3.一个红色节点的儿子节点必须全部是黑色。
4.从任意一个节点到一个null的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。
以上着色法则的一个结论是：红黑树的高度最多为
由规则4可知，只要在一个节点的一侧子树尽可能多的使用红色节点，而另一侧尽可能少甚至不使用红色节点，就可以拉开左右子树的高度差，如下图所示（图3）：
则我们可以显而易见的得到一个结论：一棵含有k个红色节点的红黑树，理论上其内部子树最大高度差就可以达到k。
既然红黑树理论上缺陷如此大，那为什么实际应用中反而采纳较多？深入研究红黑树的具体实现方式，可以发现，红黑树在实际应用中的实现形式已经超出其原本定义的规则。红黑树的理论阐述不够完善，也是其难于理解和新手难以自己动手实现的原因之一。（注：本文采纳Mark Allen Weiss的《Data Structures and Algorithm Analysis in Java》一书当中对于红黑树的实现方式，这也是实际中使用最多的实现方式）。
经过我的归纳总结，现实中的红黑树在实现过程中增加了以下限制条件：
1.新插入的节点必须为红色。
2.任意节点其左右子树最多相差2层红节点。
3.插入过程（仅限于插入点那条路径上）中不允许任一节点有2个红色儿子节点。
增加了以上三条限制条件的红黑树甚至都不需要再多加分析了。规则6和7建立在规则5和红黑树复杂的插入调整的基础之上，规则6恰巧直接阻止了经典平衡二叉树出现最差情形的可能性，规则7甚至是对红黑树到AA树（AA树实现尚不完善，目前实际性能较差，本文不做深入讨论）的一种过渡。以下图展示了连续向红黑树中插入右节点（依次插入30,40,50,60,70,80,90,100）的变化过程（图4，图5）：
3.性能测试
本文的测试环境为Window7操作系统，代码全部使用Java编写，jdk版本为1.8.0，测试均采用随机数生成器产生的九位数数字数据。为尽可能排除编译器优化以及操作系统调度造成的影响，每一项测试均运行100遍取平均时间，例如对于万级测试：生成100次不同的1000个随机九位数，将每次生成的结果分别对平衡二叉树、红黑树、AA树进行树的构造，构造完成后重新循环这10000个数进行平均查找时间的统计，在查找期间还会生成节点数据量十分之一（此处即1000）个假数据来保证查找不到的情况也被统计进查找时间，也就是说万级测试是在操作1001000次后得出的结果。最终测试结果如下：
平衡二叉树：
构造一万个节点的红黑树耗时40毫秒。万级查找时间为460纳秒，平均树高1为14层；
构造十万个节点的红黑树耗时200毫秒。十万级查找时间为670纳秒，平均树高为17层；
构造一百万个节点的红黑树耗时1850毫秒。百万级查找时间为840纳秒，平均树高20层。
红黑树：
构造一万个节点的红黑树耗时35毫秒。万级查找时间为430纳秒，平均树高为13层；
构造十万个节点的红黑树耗时180毫秒。十万级查找时间为600纳秒，平均树高为16层；
构造一百万个节点的红黑树耗时1600毫秒。百万级查找时间为740纳秒，平均树高19层。
AA树：
构造一万个节点的红黑树耗时35毫秒。万级查找时间为470纳秒，平均树高为15层；
构造十万个节点的红黑树耗时180毫秒。十万级查找时间为650纳秒，平均树高为18层；
构造一百万个节点的红黑树耗时1900毫秒。百万级查找时间为800纳秒，平均树高21层。
注：AA树的各项性能均介于红黑树和平衡二叉树之间。但是AA树的深度受随机生成的数字影像波动较大（最差情况出现次数多，并且最差情况树高最高）。
由此总结如下：
性能：红黑树>平衡二叉树>AA树；
编程实现难度:红黑树>平衡二叉树>AA树。
虽然各种树的实现以及具体应用千差万别，但是没有最好的数据结构只有最合适的数据结构，此处比较的三种查找树在实际应用中性能上只有细微的差别（最差情况出现的概率毕竟非常小），在生产实践中完全不会带来性能的明显缺陷，因此选择合理的实现方式，保证程序的功能健全性，才是选择数据结构的最重要选择因素。
标签：
原文地址：http://blog.csdn.net/yuhk231/article/details/51218244
