图像边缘分析

边缘定义为图像中亮度突变的区域，分为：细线型边缘、突变型边缘和渐变型边缘
1）突变型边缘位于图像中具有不同灰度值的相邻区域之间，对应于一阶导数的极值和二阶导数的过零点
2）细线型边缘对应于灰度变化曲线的极值，对应于一阶导数的过零点和二阶微分的极值点
2）渐进型边缘因变化缓慢，没有明确的边界点

一阶微分算子

一、梯度算子

图像处理中应用微分最常用的方法是计算梯度，梯度是方向导数取最大值的方向的向量
梯度定义为:
$G[f(x,y)] = \left[\begin{array}{cc}\ \frac{\partial f}{\partial x} \\ \,\,\frac{\partial f}{\partial y} \end{array}\right]$
用其幅度代替：
$G[f(x,y)]=[(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2]^{\frac12}$
为计算方便，也常用绝对值代替
$G[f(x,y)]=|\frac{\partial f}{\partial x}|+|\frac{\partial f}{\partial y}|$
最后用差分代替微分
$G[f(x,y)]=|f(x+1,y)-f(x,y)|+|f(x,y+1)=f(x,y)|$

I=im2double(rgb2gray(imread(‘106.jpg‘)));
figure;
imshow(I),title(‘原始图像‘);
[h w]=size(I);
edgeI=zeros(h,w);
for x=1:w-1;
    for y=1:h-1
        edgeI(y,x)=abs(I(y,x+1)-I(y,x))+abs(I(y+1,x)-I(y,x));%梯度运算  
    end
end
figure;
imshow(edgeI),title(‘边缘图像‘);
sharpI=I+edgeI;
figure;
imshow(sharpI),title(‘锐化图像‘);

二、Robert算子

Robert算子是通过交叉求微分实现边缘检测
$G[f(x,y)]=|f(x,y)-f(x+1,y+1)|+|f(x+1,y)-f(x,y+1)|$
模板表示：
$H_1 = \left[\begin{array}{cc}\ 1 && 0\\ 0&&-1\end{array}\right]$
和
$H_1 = \left[\begin{array}{cc}\ 0 && 1\\ -1&&0\end{array}\right]$
Matlab提供函数：
BW=edge(I,type,parameters)

I=im2double(rgb2gray(imread(‘106.jpg‘)));
figure;
imshow(I),title(‘原始图像‘);
BW=edge(I,‘roberts‘);
H1=[1 0;0 -1];H2=[0 1;-1 0];
R1=imfilter(I,H1);
R2=imfilter(I,H2);
edgeI=abs(R1)+abs(R2);
figure;
imshow(edgeI),title(‘Robert梯度图像‘);
sharpI=I+edgeI;
figure;
imshow(sharpI),title(‘Robert锐化图像‘);

三、Sobel算子

Sobel算子是一种$3\times 3$模板下的微分算子，定义如下：
$S_x=|f(x-1,y+1)+2f(x,y+1)+f(x+1,y+1)|$-
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|f(x-1,y-1)+2f(x,y-1)+f(x+1,y-1)|$
$S_y=|f(x+1,y-1)+2f(x+1,y)+f(x+1,y+1)|$-
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|f(x-1,y-1)+2f(x-1,y)+f(x-1,y+1)|$
$g=|S_x|+|S_y|$
模板来表示：

$H_x = \left[\begin{array}{cc}\ -1 && -2&&-1\\ 0&&0&&0\\1&&2&&1\end{array}\right]$

$H_y = \left[\begin{array}{cc}\ -1 && 0&&1\\ -2&&0&&2\\-1&&0&&1\end{array}\right]$

I=im2double(rgb2gray(imread(‘106.jpg‘)));
figure;
imshow(I),title(‘原始图像‘);
BW=edge(I,‘roberts‘);
figure,imshow(BW),title(‘Sobel边缘检测‘)
H1=[1 0;0 -1];H2=[0 1;-1 0];
R1=imfilter(I,H1);
R2=imfilter(I,H2);
edgeI=abs(R1)+abs(R2);
figure;
imshow(edgeI),title(‘Robert梯度图像‘);
sharpI=I+edgeI;
figure;
imshow(sharpI),title(‘Robert锐化图像‘);

四、Prewitt算子

Prewitt算子与Sobel算子思路类似，但模板系数不同
$S_x=|f(x-1,y+1)+f(x,y+1)+f(x+1,y+1)|$-
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|f(x-1,y-1)+f(x,y-1)+f(x+1,y-1)|$
$S_y=|f(x+1,y-1)+f(x+1,y)+f(x+1,y+1)|$-
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|f(x-1,y-1)+f(x-1,y)+f(x-1,y+1)|$
$g=|S_x|+|S_y|$
模板来表示：

$H_x = \left[\begin{array}{cc}\ -1 && -1&&-1\\ 0&&0&&0\\1&&1&&1\end{array}\right]$

$H_y = \left[\begin{array}{cc}\ -1 && 0&&1\\ -1&&0&&1\\-1&&0&&1\end{array}\right]$

%%Prewitt算子
I=im2double(rgb2gray(imread(‘106.jpg‘)));
figure;
imshow(I),title(‘原始图像‘);
BW=edge(I,‘Prewitt‘);
figure,imshow(BW),title(‘Prewitt边缘检测‘)
H1=[-1 -1 -1;0 0 0;1 1 1];H2=[-1 0 1;-1 0 1;-1 0 1];
R1=imfilter(I,H1);
R2=imfilter(I,H2);
edgeI=abs(R1)+abs(R2);
figure;
imshow(edgeI),title(‘Prewitt梯度图像‘);
sharpI=I+edgeI;
figure;
imshow(sharpI),title(‘Prewitt锐化图像‘);

二阶微分算子

拉普拉斯算子为二阶微分算子，定义如下：
$\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$
化简：
$\nabla^2f=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$
模板：
$H_1 = \left[\begin{array}{cc}\ 0 && 1&&0\\ 1&&-4&&1\\0&&1&&0\end{array}\right]$
或
$H_1 = \left[\begin{array}{cc}\ 0&&-1&&0\\ -1&&4&&-1\\0&&-1&&0\end{array}\right]$

拉普拉斯算子对图像增强基本方法
$g(x,y) = \left\{\begin{array}{rcl}\ f(x,y)-\vartriangle^2f(x,y) &&拉普拉斯模板中心系数为负数\\ f(x,y)+\vartriangle^2f(x,y)&& 拉普拉斯模板中心系数为正数 \end{array}\right.$

I=im2double(rgb2gray(imread(‘106.jpg‘)));
figure;
imshow(I),title(‘原始图像‘);
H=fspecial(‘laplacian‘,0);%生成拉普拉斯模板
R=imfilter(I,H);%拉普拉斯算子滤波
edgeI=abs(R);%获取拉普拉斯算子滤波图像
figure,imshow(edgeI),title(‘拉普拉斯边缘图像‘)
H1=[0 -1 0;-1 5 -1;0 -1 0];
SharpI=imfilter(I,H1);
figure;
imshow(sharpI),title(‘拉普拉斯锐化图像‘);

一阶微分算子获得的边界是比较粗略的边界，反映的边界信息较少，但是所反映的边界比较清晰；二阶微分算子获得的边界是比较细致的边界。反映的边界信息包括了许多的细节信息，但是所反映的边界不是太清晰。

高斯滤波和边缘检测

一、高斯函数

二、LOG算子

图像常常受到随机噪声干扰，在其上执行边缘检测的结果常将噪声当作边缘点而检测出来，而真正的边缘则由于受噪声干扰而没能检测出来
用高斯函数$g(x,y)$先对图像作平滑，将高斯函数$g(x,y)与图像函数$f(x,y)$ 卷积，得到一个图像函数，对该函数做拉普拉斯运算，提取边缘
可以证明：
$\nabla^2[f(x,y)\cdot g(x,y)]=f(x,y)\cdot \nabla^2g(x,y)$
$\nabla^2g(x,y)=\frac{\partial^2g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2g}{\partial y^2}=\frac1{\pi\sigma^4}(\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}-1)exp(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2})$

$\nabla^2g(x,y)$为LOG滤波器。$\sigma$称为尺度因子，大的值可以检测模糊的边缘，小的值可以检测聚焦良好的图像细节

%%LOG算子
I=im2double(rgb2gray(imread(‘106.jpg‘)));
figure;
imshow(I),title(‘原始图像‘);
BW=edge(I,‘log‘);%使用LOG算子进行边缘检测，得到二值边界图像
figure,imshow(BW),title(‘LOG边缘检测‘)
H=fspecial(‘log‘,7,1);%生成7*7的LOG模板，标准差为1
R=imfilter(I,H);
edgeI=abs(R);
figure;
imshow(edgeI),title(‘LOG滤波图像‘);
sharpI=I+edgeI;
figure;
imshow(sharpI),title(‘LOG锐化图像‘);

三、Canny算子

多级边缘检测算法，被很多人认为是边缘检测最优算法
最优边缘检测的三个主要评价标准:
1)低错误率，更多的实际边缘，更少的噪声误报
2)对边缘的准确定位
3)最小响应，图中的边缘最好只标识一次

主要步骤
1）高斯平滑滤波器卷积降噪
2）平滑后图像的梯度幅值和方向的计算，可采用不同的梯度算子
3）对梯度幅值应用非极大抑制，其过程是找出图像梯度中局部极大值，将其他非局部极大值点置零
4）使用双阈值检测和连接边缘

I=im2double(rgb2gray(imread(‘106.jpg‘)));
figure;
imshow(I),title(‘原始图像‘);
BW=edge(I,‘canny‘);
figure,imshow(BW),title(‘Canny边缘检测‘);

频域高通滤波

由于图像边缘对应于高频分量，因此图象锐化可采用高通滤波器，关键之处为选择合适的高通滤波系统传递函数 $H(u,v)$
1）理想高通滤波器
2）巴特沃斯高通滤波器
3）指数高通滤波器