SAR成像基础知识急救箱（一）卷积 相关 滤波器那些事儿

1 相关与卷积

1.1 相关

自相关定义：
$$A(\tau) = \int \mu(t) \mu(t+\tau) dt$$
自相关的涵义是一个函数和平移后的自己的乘积的积分，注意自相关是平移量的函数。直观上理解：如果平移量为0，则对应上式的结果最大。对于如下式所示的信号：
$$\mu_1(t) = \begin{cases} 1 & \text{ for $ \lvert\ t\rvert \le T/2 $} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$
对于$T=1$ ，对应的图形和自相关函数分别为:

可以这样理解：积分代表面积，所以函数平移之后与原来的自己再相乘再积分，即是看乘积函数与水平轴围成的面积。对于上式，可以想象的是，若平移量较大，大于1，则乘积为零，面积为零，即相关函数值为零；同样的，若平移量为零，则在范围为$(-0.5,0.5)$内乘积始终为1，面积为1，相关函数的值为1。
互相关是自相关的扩充，定义为，

$$C_{ \mu v}(\tau) = \int \mu ^{*} (t) v(t+\tau) dt$$
其中上标表示复共轭，对于实数，可以忽略。
几何上，相关解释为滑动内积，通常，相关是对等式右边两个信号的比较。

1.2 卷积

卷积的定义为：
$$f(\tau) = \int f_1(t)f_2(\tau -t)dt$$
对比上式，卷积与互相关的区别很明显，卷积是先将一个函数对折之后再平移，再与另一个函数相乘，再积分。它也是平移量的函数。显然若函数是是对称函数，则对折与否并不影响结果。
卷积有性质：线性和、结合律和交换律。
另外，还有二维卷积、离散卷积。对于离散卷积需要注意的是其输出结果存在边缘效应。
上面说到对于对称实信号，卷积和相关相同，但是对于下式来说，卷积和相关就体现出了差异，
$$\mu_2(t) = \begin{cases} 1 & \text{for $ 0<t<T $} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$
函数图形、自相关函数图形、卷积的图形分别为：

自相关函数图形和卷积函数图形的区别是“对折”造成的。
相关的物理意义还是比较好理解的，相关程度；卷积的物理意义是什么呢？牵强一点可以理解与一个函数和另一个函数对折之后的版本
的相关程度。应该不止如此吧。。。。。。
另外卷积是可交换的，相关不可：

$$C_{ \mu v} (t) = C_{ \mu v}^{*} (-t)$$

2 滤波器

2.1 滤波器的冲激响应和传递函数

因为：
$$f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d\tau$$
现有线性时不变系统$\mathbf{H}$，且：
$$\mathbf{H} \delta(t) = h(t)$$
则，for any input function x(t), the output function y(t) can be expressed as：
$$\begin{split}y(t) &= \mathbf{H} x(t) \ &= \mathbf{H} \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \&= \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau \&= x(t) * h(t) \end{split}$$
这是一个很有意思的结论，后面我们会用到。
若把滤波器看成是一个线性时不变系统，则$h(t)$即为滤波器的冲激响应。
滤波器的传递函数定义为$H(f)$：
$$h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} H(f)e^{j2\pi ft} df$$
$$H(f) = \lvert\ H(f)\rvert e^{j \phi(f)}$$
其中：

• $\lvert\ H(f)\rvert$表示滤波器的幅频特性，即当某一幅度为1，频率为f的信号通过滤波器后输出信号的幅度变化；
• $\phi(f)$表示滤波器的相频特性，即当某一幅度为1，频率为f且相位为零的信号通过滤波器后输出信号的相位变化；

考虑到时域的卷积对应频域的乘积， 继续转换上式：

$$\begin{split}y(t) &= x(t) * h(t) \&= \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau \&= \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) H(f)e^{j2\pi ft} df \\end{split}$$

2.2 匹配滤波器

匹配滤波器在SAR成像中是非常关键的一个存在。直观的理解是：把回波信号的已知形式稍作转换后放到一个盒子里，当回波信号通过盒子时候，如果跟盒子里面的信号配上了，或者说比较像，盒子就尖叫一声，这样我们根据不同时间的尖叫声就可以知道对应不同距离的目标的回波信号啦。这里的数学原理是如下。
假设发射信号是$\mu(t)$，回波信号是$r(t) = \sigma \mu(t-\tau)$
数学上描述两个信号是否配上，用相关：

$$y(t) = \int \mu^{*}(s)r(s+t)ds = \sigma \int \mu^{*}(s)\mu(s+t-\tau)ds = \sigma A(t-\tau)$$
显然，当$t=\tau$，输出值最大，注意这里的$\tau$为回波时延。如果有N个目标则输出中就有N个尖峰。若$r(t) = \sum_{i=1}^{N} \sigma_i \mu(t-\tau_{i})$,则对应的输出为：

$$\begin{split}y(t) &= \int \mu^{*}(s)r(s+t)ds \&= \sum_{i=1}^{N} \int \mu^{*}(s)\mu(s+t-\tau_{i})ds \&= \sum_{i=1}^{N} \sigma_i A(t-\tau_{i}) \\end{split}$$

稍微作形式上的转换：

$$y(t) = \int \mu^{*}(s)r(s+t)ds = \int r(s) \mu^{*}(-(t-s))ds =\int r(s) h(t-s) ds$$
注意这是一个输入信号和$h(t) = \mu^{*}(-t)$的卷积。那么可想而知，这里的$h(t) = \mu^{*}(-t)$即为匹配滤波器的冲激响应。考虑到时域的卷积对应频域的乘积，若$Y(f),R(f) ,H(f)$分别为$y(t), r(t) ,h(t)$的傅里叶变换，则：
$$Y(f) = R(f)H(f)$$
其中：
$$\begin{split}H(f) &= \int h(t) e^{-j2\pi ft} dt \&= \int \mu^{*}(-t) e^{-j2\pi ft} dt \&= U^{*}(f) \\end{split}$$
注意这里f前并没有负号，可以这样理解：频域的复共轭对应时域的复共轭加上时间反折。
前面说过根据匹配滤波器的输出（尖峰的位置）我们可以进行目标定位，这并没有错。但匹配滤波器的输出尖峰的位置既可能对准目标回波信号输入的前沿也可能对准其零频位置，这跟匹配滤波器的具体实现方式有关。
值得注意的是以上的讨论都只考虑了连续信号的情况，实际处理中一般都是采样后得到的离散信号。这样带来的一个问题是，卷积会存在弃置区（因为边缘效应）。