大话数据结构读书笔记系列（六）树<上篇>

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这章内容比较多，分为上和下2篇：

第6章树

6.2　树的定义

之前我们一直在谈的是一对一的线性结构，可现实中，还有很多一对多的情况需要处理，所以我们需要研究这种一对多的数据结构——“树”。

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n＞1时，其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree），如图6-2-1所示。

 6.2.1　结点分类

结点拥有的子树数称为结点的度（De-gree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。如图6-2-4所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3，所以树的度也为3。

 6.2.2　结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。所以对于H来说，D、B、A都是它的祖先。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙有D、G、H、I，如图6-2-5所示。

 6.2.3　树的其他相关概念

结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第l层，则其子树就在第l+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然图6-2-6中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I与J也是堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度，当前树的深度为4。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。

对比线性表与树的结构，它们有很大的不同。

6.4　树的存储结构

简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。树中某个结点的孩子可以有多个，这就意味着，无论按何种顺序将树中所有结点存储到数组中，结点的存储位置都无法直接反映逻辑关系。

不过充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。我们这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

 6.4.1　双亲表示法

我们人可能因为种种原因，没有孩子，所以是人一定会有父母。树这种结构也不例外，除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲。

在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。

其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为-1。如图6-4-1中的树结构和表6-4-2中的树双亲表示所示。

优点：这样的存储结构，我们可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点。

缺点：可如果我们要知道结点的孩子是什么，对不起，请遍历整个结构才行。

这真是麻烦，能不能改进一下呢？当然可以。我们增加一个结点最左边孩子的域，不妨叫它长子域，这样就可以很容易得到结点的孩子。如果没有孩子的结点，这个长子域就设置为-1，如表6-4-3所示。

另外一个问题场景，我们很关注各兄弟之间的关系，双亲表示法无法体现这样的关系，那我们怎么办？嗯，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，也就是说，每一个结点如果它存在右兄弟，则记录下右兄弟的下标。同样的，如果右兄弟不存在，则赋值为-1，如表6-4-4所示。

 6.4.2　孩子表示法

每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。

孩子表示法:把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，如图6-4-4所示。

6.4.3　孩子兄弟表示法(二叉树)

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，right-sib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。

6.5　二叉树的定义

很经典的折半查找算法:我在纸上已经写好了一个100以内的正整数数字，请大家想办法猜出我写的是哪一个？注意你们猜的数字不能超过7个，我的回答只会告诉你是“大了”或“小了”。

不过对于这种在某个阶段都是两种结果的情形，比如开和关、0和1、真和假等都适合用树状结构来建模，而这种树是一种很特殊的树状结构叫二叉树。

二叉树是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

 6.5.1　二叉树特点

二叉树的特点有：

1、每个结点最多有两棵子树。

2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

3、即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

6.5.2　特殊二叉树

1）所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。斜树有很明显的特点，就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。

2）在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这就做到了整棵树的平衡。因此，满二叉树的特点有：（1）叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡。（2）非叶子结点的度一定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

3）对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

区别：首先从字面上要区分，“完全”和“满”的差异，满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。

判断：判断某二叉树是否是完全二叉树的办法，那就是看着树的示意图，心中默默给每个结点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空档，就说明不是完全二叉树，否则就是。

6.6　二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i≥1）。

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1）。

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1。

比如图6-6-1的例子，结点总数为10，它是由A、B、C、D等度为2结点，F、G、H、I、J等度为0的叶子结点和E这个度为1的结点组成。总和为4+1+5=10。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2n+1|（|x|表示不大于x的最大整数）。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：

1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。

2．如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。

3．如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

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