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机器学习中三类参数估计的方法

时间:2016-04-22 19:52:49      阅读:146      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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本文主要介绍三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。


1、最大似然估计MLE

首先回顾一下贝叶斯公式


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这个公式也称为逆概率公式,可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式,即


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最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值,似然函数可以写做


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由于有连乘运算,通常对似然函数取对数计算简便,即对数似然函数。最大似然估计问题可以写成


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这是一个关于技术分享的函数,求解这个优化问题通常对技术分享求导,得到导数为0的极值点。该函数取得最大值是对应的技术分享的取值就是我们估计的模型参数。

以扔硬币的伯努利实验为例子,N次实验的结果服从二项分布,参数为P,即每次实验事件发生的概率,不妨设为是得到正面的概率。为了估计P,采用最大似然估计,似然函数可以写作


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其中技术分享表示实验结果为i的次数。下面求似然函数的极值点,有


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得到参数p的最大似然估计值为


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可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。

如果我们做20次实验,出现正面12次,反面8次

那么根据最大似然估计得到参数值p为12/20 = 0.6。


2、最大后验估计MAP

最大后验估计与最大似然估计相似,不同点在于估计技术分享的函数中允许加入一个先验技术分享,也就是说此时不是要求似然函数最大,而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大,即


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注意这里P(X)与参数技术分享无关,因此等价于要使分子最大。与最大似然估计相比,现在需要多加上一个先验分布概率的对数。在实际应用中,这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。例如在扔硬币的试验中,每次抛出正面发生的概率应该服从一个概率分布,这个概率在0.5处取得最大值,这个分布就是先验分布。先验分布的参数我们称为超参数(hyperparameter)即


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同样的道理,当上述后验概率取得最大值时,我们就得到根据MAP估计出的参数值。给定观测到的样本数据,一个新的值技术分享发生的概率是


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下面我们仍然以扔硬币的例子来说明,我们期望先验概率分布在0.5处取得最大值,我们可以选用Beta分布即


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其中Beta函数展开是


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当x为正整数时


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Beta分布的随机变量范围是[0,1],所以可以生成normalised probability values。下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数

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我们取技术分享,这样先验分布在0.5处取得最大值,现在我们来求解MAP估计函数的极值点,同样对p求导数我们有


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得到参数p的的最大后验估计值为


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和最大似然估计的结果对比可以发现结果中多了技术分享这样的pseudo-counts,这就是先验在起作用。并且超参数越大,为了改变先验分布传递的belief所需要的观察值就越多,此时对应的Beta函数越聚集,紧缩在其最大值两侧。

如果我们做20次实验,出现正面12次,反面8次,那么

那么根据MAP估计出来的参数p为16/28 = 0.571,小于最大似然估计得到的值0.6,这也显示了“硬币一般是两面均匀的”这一先验对参数估计的影响。


3 贝叶斯估计

贝叶斯估计是在MAP上做进一步拓展,此时不直接估计参数的值,而是允许参数服从一定概率分布。回顾一下贝叶斯公式


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现在不是要求后验概率最大,这样就需要求技术分享,即观察到的evidence的概率,由全概率公式展开可得


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当新的数据被观察到时,后验概率可以自动随之调整。但是通常这个全概率的求法是贝叶斯估计比较有技巧性的地方。

那么如何用贝叶斯估计来做预测呢?如果我们想求一个新值技术分享的概率,可以由


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来计算。注意此时第二项因子在技术分享上的积分不再等于1,这就是和MLE及MAP很大的不同点。

我们仍然以扔硬币的伯努利实验为例来说明。和MAP中一样,我们假设先验分布为Beta分布,但是构造贝叶斯估计时,不是要求用后验最大时的参数来近似作为参数值,而是求满足Beta分布的参数p的期望,有


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注意这里用到了公式


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当T为二维的情形可以对Beta分布来应用;T为多维的情形可以对狄利克雷分布应用

根据结果可以知道,根据贝叶斯估计,参数p服从一个新的Beta分布。回忆一下,我们为p选取的先验分布是Beta分布,然后以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验概率仍然服从Beta分布,由此我们说二项分布和Beta分布是共轭分布。在概率语言模型中,通常选取共轭分布作为先验,可以带来计算上的方便性。最典型的就是LDA中每个文档中词的Topic分布服从Multinomial分布,其先验选取共轭分布即Dirichlet分布;每个Topic下词的分布服从Multinomial分布,其先验也同样选取共轭分布即Dirichlet分布。

根据Beta分布的期望和方差计算公式,我们有


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可以看出此时估计的p的期望和MLE ,MAP中得到的估计值都不同,此时如果仍然是做20次实验,12次正面,8次反面,那么我们根据贝叶斯估计得到的p满足参数为12+5和8+5的Beta分布,其均值和方差分别是17/30=0.567, 17*13/(31*30^2)=0.0079。可以看到此时求出的p的期望比MLE和MAP得到的估计值都小,更加接近0.5。

综上所述我们可以可视化MLE,MAP和贝叶斯估计对参数的估计结果如下

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个人理解是,从MLE到MAP再到贝叶斯估计,对参数的表示越来越精确,得到的参数估计结果也越来越接近0.5这个先验概率,越来越能够反映基于样本的真实参数情况。


原文地址:http://blog.csdn.net/yangliuy/article/details/8296481


参考文献

Gregor Heinrich, Parameter estimation for test analysis, technical report 

Wikipedia Beta分布词条 ,  http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

机器学习中三类参数估计的方法

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原文地址:http://blog.csdn.net/wtq1993/article/details/51213204

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