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上篇学习了PDF的参数估计方法，主要有最大似然估计和贝叶斯估计，他们主要对有确定形式的PDF进行参数估计，而在实际情况下，并不能知道PDF的确切形式，只能通过利用所有样本对整个PDF进行估计,而且这种估计只能是利用数值方法求解。通俗的说，如果参数估计是从指定的某一类函数中选择一个作为目标估计，那么非参数估计就是从所有可能的函数中找到一个合适的选择。
非参数估计主要有三种方法：直方图法、kn近邻法、核函数法，其中核函数法又叫Parzen窗法或核密度法。
这是一种最简单也最直观的一种非参数估计方法，说起这个方法，相信很多人都在初中时都有接触过，举个简单的粒子；
a.如果将一个班上的数学成绩x（为简单起见，这里假定样本只有一个分量）从及格60分到100分划分为4个等间隔的小窗，由于x是一维向量，则会分割得到4的1次方等于4个bin，把每个bin的体积记为V；
b.按照统计方式，统计出落入每个bin的样本数目Ni（通常我们把它叫做频数）；
c.假设这个班上有60个学生，但这次数学考试及格的有40人，那么样本总量就为40，很明显，这时候每个bin的概率密度是一个常量，可以由以下公式计算得到：
根据上例，我们来简单的分析下直方图的基本思想。我们的目标是求出每个样本的概率密度所服从的函数分布，即求出p(x)的估计量，同样的，不考虑类别问题，假设所有样本都是同一类的。
step1：假设某一小区域R，则某个随机样本落入R的概率：
step2:根据二项分布，可求出有k个这样的样本落入R的概率为：
其中，N为样本总数，k的取值等于其期望值，k=PR*N，所以可以得到PR的估计量等于：
step3：当p(x)连续且R的体积V足够小时，p(x)可以认为是一个常量，因此落入R的概率近似为：
将PR的估计量代入上式可得：
是不是跟上面数学成绩粒子中的估计是一样的。
在直方图估计中，有一个直接影响估计结果的问题，就是bin的体积V选择，不可太大，也不可太小，应该与样本总数相适应，太大会导致分辨率低，太过平均；太小的话分类太过精细，波动太大。对此，有一个官方的解释就是：随着样本数的增加，bin的体积应该尽可能小，同时又必须保证在bin内有足够多的样本，但每个bin内的样本数又必须是总样本数中的一小部分，用公式表达就是：
直方图法虽然简单，但却不能范化，比如在样本总数有限的情况，毕竟一个bin内落入多少样本不仅与bin的体积有关，还与样本的分布有关，为了得到更好的估计，我们需要根据样本分布情况及时调整bin的体积大小，而kn近邻法就是有限样本下的这样一种估计方法，可以看作是一种自适应的直方图估计法。
基本思想：在样本x的取值范围内，把每一个取值作为一个bin的中心点，根据总样本确定kn，用来规定每个bin内落入的样本个数，这样一来，在求p(x)的估计量时，找到与当前中心点最近的kn个样本放进当前bin中，在寻找这kn个样本的过程中，bin的体积是在不断变化的，直到bin中恰好落入kn个样本时，bin的体积确定，这时估计量为：
从上面公式中不难发现，样本密度与bin体积成反比，这样在高密度的bin就会有比较好的分辨率，而低密度的bin也会保证估计的连续性。与直方图估计一样，为了达到好的估计效果，我们需要按照公式(1)的原则来选择kn的函数形式，也就是它与样本总体的关系满足一个什么样的方程，比如：
kn近邻法与直方图法的不同之处，除了bin体积的可变外，还体现在：kn近邻没有将x的可能取值划分为若干bin，而是在x的取值范围内以每一点值作为bin的中心，当求得与当前点最接近的kn个样本时，当前bin的体积也随之被确定。kn近邻法尽管解决了有限样本下直方图估计的样本分布不均现象，但是却易陷入另一问题，就是维数灾难，即当x的维数较高时，样本数量无法达到精确。
这是一种用核函数来估计当前样本x处的概率密度的方法，可以看作一种在x的取值空间内用核函数对样本进行插值的过程。
回到(基本公式)上来，在统计落入一个bin的样本个数时，需要判断观测样本xi是否应该放进包含x样本的bin中，那么该怎么判断呢？是不是跟两个样本的距离有关呢？继续往下看。。
在直方图中，举了个样本只有一维的例子，这里我们回到常规，假设x是一个d维的特征向量，这时候每个bin也会是多维的，确切的说就是一个超立方体，设其每一维的棱长为h，那么bin的体积就是h的d次方。为统计落入bin的样本数目，我们定义一个二值函数：
有了这个二值函数，就可以很容易的来判断了，只需要计算该二值函数在(x-xi)/h处的函数值即可，为1就放进当前bin，否则不放进，于是可以统计下落入bin的所有样本数：
将上式代入(基本公式)可得：
上式(2)中，∑符号后的那一串式子就被叫做核函数，也称窗函数，记作：
它反映了观测样本xi对x处的概率密度估计的贡献，跟两个样本之间的距离有关，因此公式（2）的直观解释就是：对落入每一个bin的所有观测样本的距离贡献值取平均，就会得到总体样本的概率密度函数估计。
对于核函数，需要满足麦瑟尔约束条件，即函数值非负且积分为1：
最后，介绍几种常见的核函数：
a.方窗
b.高斯窗（多维）
即以观测样本xi为均值，协方差矩阵∑的正态分布，其中
c.超球窗
其中，V是超球体的体积，p是半径。
可以注意到，上面三种核函数中都有一个共同的h参数，它就是平滑参数，反映了一个样本对多大范围内的估计产生影响。
概率密度函数的非参估计要求样本数量足够多，只要有足够多的样本总能够保证收敛于任何密度函数，但也因此计算量和存储量比较大；反观前面的参数估计，则更适合于小样本的情况，并且对密度函数有充分的先验知识的前提下，参数估计可能会达到更好的估计效果。总之就是，要么对先验概率和类条件概率密度有充分的先验知识，要么有足够多的样本，那么就能够进行较好的概率密度估计。
模式识别（Pattern Recognition）学习笔记（六）——概率密度函数的非参估计
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原文地址：http://blog.csdn.net/eternity1118_/article/details/51188306
