[ACM] POJ 2947 Widget Factory (高斯消元）

标签：acm   高斯消元   

Description

Input

Output

Sample Input

2 3
2 MON THU
1 2
3 MON FRI
1 1 2
3 MON SUN
1 2 2
10 2
1 MON TUE 
3
1 MON WED
3
0 0

Sample Output

8 3
Inconsistent data.

Hint

Source

被这个题意弄得真的无语了，读了N遍.......

公司被吞并，老员工几乎全部被炒鱿鱼。一共有n种不同的工具，编号1-N（代码中是0—N-1），每种工具的加工时间为3—9天，但是现在老员工不在我们不知道每种工具的加工时间，庆幸的是还保留着一些对工人制造工具的记录，对于每个老员工，他的记录包括，他开始工作的时间（在某个星期的星期几），被炒鱿鱼的时间（某个星期的星期几），在第几个星期不知道.....在这段时间里，他正好加工了k件物品，给出了这k件物品的编号。我们要做的就是通过这些记录，来确定每种工具的加工时间是多少。

思路为建立线性方程组（涉及到了取模）:

对于每个记录，建立一个方程，所有的记录，建立为如下的方程：

（a[0][0]*X0 + a[0][1] *X1 + a[0][2]*X2+...........a[0][n-1]*Xn-1 )  %7=  a[0][n] 

（a[1][0]*X0 + a[1][1] *X1 + a[1][2]*X2+...........a[1][n-1]*Xn-1 )  %7=  a[1][n] 

................................................................................................................................

（a[m-1][0]*X0 + a[m-1][1] *X1 + a[m-1][2]*X2+...........a[m-1][n-1]*Xn-1 )  %7=  a[m-1][n] 

如上方程组，表示的是一共有m个记录，即有m个方程，有n个变量（表示n个物品，编号0-N-1），方程中的x0, x1, x2........xn-1，代表的是第i种工具加工需要多长时间

a[ i ] [ j ]  (0<=j<=n-1) ，表示第i个方程中（i从0开始）,编号为j的物品，加工的个数，即Xj,  a[i][n] ，表示第i个方程中，加工完所有种类的工具，需要的时间，因为不知道开始时间和结束时间是在第几个星期，只知道星期几，所以有 %7.

以样例中的例子，来说一下方程组的建立.

2 3
2 MON THU
1 2
3 MON FRI
1 1 2
3 MON SUN
1 2 2

样例中 2 3 代表 有一共两种工具（编号0,1）, 3个工人的记录。

第一个工人的记录为 2 表示他加工了两个工具，开始时间是 MON,表示星期一，结束时间为THU，表示星期四，下一行的1,2表示，他加工两个工具，这两个工具的编号，1,2（代码中是 0，1）

这样建立的方程为   (1* X0+ 1 *X2 )%7= ((4-1)%7+7)%7 ,方程后边得是正整数.

第二个工人的记录为3 表示他加工了三个工具，开始时间为 MON，表示星期一，结束时间为FRI，表示星期五，下一行的1,1,2表示，他加工的三个工具里面，编号分别是1,1,2，也就是第一种工具加工了两个，第二种工具加工了1个。

这样建立的方程为  （2*X0+1*X2）%7=((5-1)%7+7)%7, 

依次类推，

第三个工人的记录建立的方程为  (1*X0+2*X2) %7 =((7-1)%7+7)%7.

我们要做的就是根据这三个方程，把x0,x1，解出来。

当没有解时，输出  Inconsistent data. 无穷解时 输出 Multiple solutions. ，否则输出每种工具的加工时间...

这种题目需要把模板修改一下...一上午就研究了个模板是怎么回事....

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 310;
int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn]; // 解集.
int free_num;


inline int gcd(int a, int b)
{
    int t;
    while(b!=0)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}

inline int lcm(int a, int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int change(char s[])
{
    if(strcmp(s,"MON")==0) return 1;
    else if(strcmp(s,"TUE")==0) return 2;
    else if(strcmp(s,"WED")==0) return 3;
    else if(strcmp(s,"THU")==0) return 4;
    else if(strcmp(s,"FRI")==0) return 5;
    else if(strcmp(s,"SAT")==0) return 6;
    else  return 7;
}
int Gauss(void)
{
    int i,j,k;
    int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
    int col; // 当前处理的列.
    int ta, tb;
    int LCM;
    int temp;
    // 转换为阶梯阵.
    col = 0; // 当前处理的列.
    for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
    { // 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r = k;
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        {
            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
        }
        if (max_r != k)
        { // 与第k行交换.
            for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
        }
        if (a[k][col] == 0)
        { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        { // 枚举要删去的行.
            if (a[i][col] != 0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
                if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
                for (j = col; j < var + 1; j++)
                {
                    a[i][j] =(((a[i][j] * ta - a[k][j] * tb)%7+7)%7);
                }
            }
        }
    }
    //Debug();
    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];//等式右边的数
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];//把已知的解带入，减去，只剩下，一个未知的解
            temp=(temp%7+7)%7;
        }
        while(temp%a[i][i]!=0)//外层每次循环都是为了求 a[i][i],因为它是每个方程中唯一一个未知的变量（求该方程时）
            temp+=7;//因为天数不确定，而a[i][i]必须得为整数才可以，周期为7
        x[i]=(temp/a[i][i])%7;
    }
    return 0;
}

int main(void)
{
    int n,m,k,num;
    char s[5],e[5];
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n||m))
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d",&k);
            scanf("%s%s",s,e);
            a[i][n]=((change(e)-change(s)+1)%7+7)%7;
            for(int j=1;j<=k;j++)//k是他打造的数量
            {
                scanf("%d",&num);//可能是相同的数
                num--;
                a[i][num]++;//系数++
                a[i][num]%=7;//有重复的。
            }
        }
        equ=m;//有m个方程
        var=n;//有多少个变量
        free_num = Gauss();
        if(free_num==0)
        {
            for(int i=0;i<n;i++)//根据题意，每个零件的加工时间在3-9天.
                if(x[i]<=2)
                x[i]+=7;
            for(int i=0;i<n-1;i++)
             cout<<x[i]<<" ";
            cout<<x[n-1]<<endl;
        }
        else if(free_num==-1)
            cout<<"Inconsistent data."<<endl;
        else
            cout<<"Multiple solutions."<<endl;
    }
    return 0;
}

高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。

首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)

1. 把方程组转换成增广矩阵。

2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。

3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。

① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。

② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。

③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
    这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。

下面讲解几道OJ上的高斯消元法求解线性方程组的题目：

POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter‘s Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 开关问题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830

POJ 3185 The Water Bowls

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
开关窗户，开关灯问题，很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数，直接套模板求解即可。但是，当出现无穷解时，需要枚举解的情况，因为无法判断哪种解是题目要求最优的。

POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似，只要在求解过程中加入取余即可。
注意：当方程组唯一解时，求解过程中要保证解在[3, 9]之间。

POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
经典的BFS问题，有各种解法，也可以用逆矩阵进行矩阵相乘。
但是这道题用高斯消元法解决好像有些问题(困扰了我N天...持续困扰中...)，由于周期4不是素数，故在求解过程中不能进行取余(因为取余可能导致解集变大)，但最后求解集时，还是需要进行取余操作，那么就不能保证最后求出的解是正确的...在discuss里提问了好几天也没人回答...希望哪位路过的大牛指点下～～

POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同样是求解同余方程组问题，由于题目中的p是素数，可以直接在求解时取余，套用模板求解即可。(虽然AC的人很少，但它还是比较水的一道题，)

POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻烦的一道题目...题目中的叙述貌似用到了编译原理中的词法定义(看了就给人不想做的感觉...)
解方程组的思想还是很好看出来了(前提是通读题目不下5遍...)，但如果把树的字符串表达式转换成方程组是个难点，我是用栈 + 递归的做法分解的。首先用栈的思想求出该结点的孩子数，然后递归分别求解各个孩子。
这题解方程组也与众不同...首先是求解浮点数方程组，要注意精度问题，然后又询问不确定的变元，按前面说的方法求解。
一顿折腾后，这题居然写了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能还是精度的问题吧...看这题目，看这代码，就没有改的欲望...

hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈尔滨现场赛的一道纯高斯题，当时鹤牛敲了1个多小时...主要就是写一个分数类，套个高精模板(偷懒点就Java...)搞定～～
注意下0和负数时的输出即可。

fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月赛的一道题目，还是经典的开关问题，但是方程数和变元数不同(考验模板的时候到了～～)，最后要求增广阵的阶，要用到高精度～～

Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
题解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html

模板：

//高斯消元模板
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=105;
int equ,var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
int free_num;
void Debug(void)
{
    int i,j;
    for(i=0;i<equ;i++)
    {
        for(j=0;j<var+1;j++)
        {
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;
}
inline int gcd(int a, int b)
{
    int t;
    while (b!=0)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}
inline int lcm(int a, int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int Gauss(void)
{
    int i,j,k;
    int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
    int col; // 当前处理的列.
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;
    // 转换为阶梯阵.
    col=0; // 当前处理的列.
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    { // 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        { // 与第k行交换.
            for(j=k;j<var+1;j++)
                swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--; continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        { // 枚举要删去的行.
            if (a[i][col]!=0)
            {
                LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta=LCM/abs(a[i][col]),tb=LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb; // 异号的情况是两个数相加.
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j]=a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                }
            }
        }
    }
    //Debug();
    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for(i=k;i<equ;i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col]!=0)
            return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if(k<var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i=k-1;i>=0;i--)
        {
            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num=0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for(j=0;j<var;j++)
            {
                if(a[i][j]!=0&&free_x[j])
                    free_x_num++,free_index = j;
            }
            if(free_x_num>1)
                continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
            temp=a[i][var];
            for(j=0;j<var;j++)
            {
                if(a[i][j]!=0&&j!=free_index)
                temp-=a[i][j]*x[j];
            }
            x[free_index]=temp/a[i][free_index]; // 求出该变元.
            free_x[free_index]=0; // 该变元是确定的.
        }
        return var-k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i=var-1;i>=0;i--)
    {
        temp=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;j++)
        {
            if(a[i][j]!=0) 
                temp-=a[i][j]*x[j];
        }
        if(temp%a[i][i]!=0) 
            return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i]=temp/a[i][i];
    }
    return 0;
}
int main(void)
{
    int i, j;
    while (scanf("%d %d",&equ,&var)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(x,0,sizeof(x));
        memset(free_x,1,sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元
        
        for(i=0;i<equ;i++)//构造增广矩阵
            for(j=0;j<var+1;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
//        Debug();
        free_num=Gauss();
        if(free_num==-1) printf("无解!\n");
        else if(free_num==-2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
        else if(free_num>0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n",free_num);
            for(i=0;i<var;i++)
            {
                if(free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n",i+1);
                else printf("x%d: %d\n",i+1,x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for(i=0;i<var;i++)
                printf("x%d: %d\n",i+1,x[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

[ACM] POJ 2947 Widget Factory (高斯消元）,布布扣,bubuko.com

[ACM] POJ 2947 Widget Factory (高斯消元）

标签：acm   高斯消元   

原文地址：http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38275863