标签：style blog http io 数据 for 2014 问题
先解释下名词的意思。
无向图的割：就是去掉一些边，使得原图不连通，最小割就是要去掉边的数量最小。
解决这个问题的常用办法就是Stoer-Wagner 算法；
先说下这个算法的步骤后面给出证明：
1.min=MAXINT，固定一个顶点P
2.从点P用类似prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边
3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min
4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点
5.转到2，合并N-1次后结束
6.min即为所求，输出min
这个算法过程不难理解，我在这里还是简单的演示下算法的过程，
任选一个点P，开始了扩展之路初始化wage数组的值都是0，并且已把点P放入了已扩展点的集合；
第一个点P扩展完的wage数组的值如下图
（图中边上的权值是表示两点间相连的边的条数，也可以认为是两点间的连通度）
wage[4]的值最大这时候把点4加入到已访问集合；
下一次就选取wage数组最大值的点（也就是点4）开始向外扩展，注意在扩展点4的时候点P不会再被更新，
因为它已经进入被扩展集合了。过程同上。
反复扩展。。。
扩展到最后两个点的时候我们记为S,T；
其中T是最后一个点；
这时候我们得到了wage[S] 和 wage[T]；
现在有如下性质：
1，wage[T]是将单点T分离出原图的最小的割的值（这里说的是把T这个点单独拿出去）；
2，wage[T]的值是将S或T单独分离出原图的最小割值中较小的那一个；
首先性质一很好证明，因为你最后更新到wage[T]的时候 wage[T]的值就是所有与它相连的边的权值的和，显然成立；
性质二的证明分为两种情况，S与T有边相连，和无边相连；
S与T有边相连时，在通过S进行扩展时，由于先选择S所以扩展前wage[S]>=wage[T] 在扩展时 wage[T]的值必然会增加S与T之间的权值。
但是这个权值也是属于S的
两个相加了同一个数，由于之前wage[S]>=wage[T] 所以相加同一个数后不等式仍然成立；
同理S,T无边相连也可以仿照上面的解释；
下面要进行合点操作了，我们需要证明一件事情就是合点操作后不会影响最终的答案，
说明这个问题前，我们先进行下面的一个讨论。
算法进行到这就到了合并点的步骤了，我们先来分析下上面prim算法的过程，
首先对于上面的性质1和性质2你要已经理解了下面的说明你才会觉得清晰。
到目前为止好像对于我们有用处的就是最后那两个点S,T。我们不禁要问下，
如果只是为了选出两个点，有必要这么麻烦吗（最大生成树）？
直接随意选两个点，计算出对应的wage的值，
即计算把他们单独分割出去的值，比较大小，小的记为T大的记为S，然后跟新min。
好像也满足了上面所要的结果。显然这么做不对。我们考虑下面一种情况
我们先来想一想分割后的情况，假设我们找到了原图的最小割然后按照最小割集进行分割，
那么原图一定被分为两部分且只能是两部分，记为A，B ；
A,B彼此连同，分割后的A,B 显然是不连通的。
为了简化证明过程我假设 原图A与B 仅有一条边相连。当然这条边的值就是最小割的值。
这条边连接的两个点一个在A中一个在B中 分别记为啊a,b。
如果A中或B中只有一个点，那么你按照随意选点的方法不会影响最后的答案，我们这里要讨论A和B中点的个数大于1。
这时如果你还随意的找两个点进行更新min 合点操作就会出错了。
这很好想，因为如果你选的是a,b 两个点，
那么你计算出的wage肯定是大于最小割，因为无论a,b都肯定与至少2个点相连，而最终的答案是a,b间边的权值。
这时如果把a,b合点后再进行上面的重复操作显然已经把最佳答案错过了。
所以上面的这选点的prim是为了确定一个顺序问题，我还以这个例子来说，
通过prim选出的两个点S,T一定都在A中或者在B中（前提是A,B中包含2个或以上的点）
也只有在这个前提下进行点的合并才不会影响最后的答案。
我们先来证明下这两个点一定在一边而不会是一边一个（前提是A,B中包含2个或以上的点）
证明：
不妨设我们prim 过程的第一个点在A中，那么它一定先在A中的点开始扩展操作，
进行prim扩展若干次后首次计算B中点的wage 时 一定是A，B相连的那个点此时wage[b]的值为最小割的值，接下来，
如果A中可扩展的点的wage值都大于wage[b],那一定是A中的点都扩展玩了才会去扩展B中的点那么最后的两个点一定都在B中。
否者，首次由b点开始扩展时候，我们可以肯定的就是在A中可扩展的点的wage值都小于wage[b]，
如果接下来B中的可扩展的点的wage值一直都大于A中可扩展点的wage值
那么就是B中的点全都扩展完然后再进行A中的扩展最后两个点就都在A中。
否则，在B中扩展若干次，再次回到A中扩展的时候，B中可扩展点的wage值都小于A中的可扩展点的值，
由前面可知这个值一定小于wage[b]。接下来就是按照这个思路，如果一直在A中那么最后的点在B中，
如果再次回到B中扩展可知此时A中可扩展的点的wage值都小于B中可扩展点的wage值，反复反复下去，
如果最后A中一个点，B中一个点，会出现什么情况呢？显然最后的那个点的wage值小于wage[b]了。
这样更新完原图的最小割更小了，这显然这显然矛盾了。矛盾的原因就在于prim的过程根本就没法实现一个在A中一个在B中。
有了这么个结论再讨论合点不影响最后答案就很显然了，稍微想一想画一画就懂了这里就不仔细说了
如果S,T相连， 我已经更新了将S,T分割单独分割出去时最小割的值，那么现在即使将S和T合并也不会影响全局最小割的求解。
如果S,T不直接相连时，如果答案是S,T合并后的解显然将两者一起分离的时候已经将T单独分开了。
肯定不会是最优的答案因为画蛇添足啊。所以将S和T合并，并不会影响后面的计算。
到此我就粗略的说完了 无向图最小割的算法的正确性，以及证明，
合点操作之所以不影响答案的关键是prim算法的步骤决定了选点的顺序。代码如下O（n^3）优化的其实效率并没有提高。。
这个要根据题目数据决定。测试题目：厦大OJ 1100。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 105
#define inf 1000000
int node[maxn],cnt[maxn],vis[maxn],p[maxn][maxn];
int main()
{
int n,m,a,b,ans=inf;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<m;i++)
{
if(i<n)
node[i]=i;
scanf("%d%d",&a,&b);
p[a][b]++;
p[b][a]++;
}
while(n>1)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[node[0] ] =1;
int maxi = 1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cnt[node[i] ]=p[ node[i] ][node[0] ];
if(cnt[node[i] ]>cnt[ node[maxi] ])
{
maxi=i;
}
}
int pre = 0;
for(int s=1;s<n;s++)
{
if(s==n-1)
{
ans=min(ans,cnt[node[maxi] ]);
for(int k=0;k<n;k++)
p[node[k] ][node[pre] ] =p[node[pre] ][node [k] ] += p[node[k] ][node[maxi] ];
node[maxi] = node[--n];
}
vis[node[maxi] ] =1;
pre=maxi;
maxi=-1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(!vis[node[i]])
{
cnt[node[i] ] += p[node[i] ][node[pre] ];
if(maxi==-1 || cnt[node[i] ]>cnt[node[maxi] ])
{
maxi = i;
}
}
}
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
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原文地址：http://blog.csdn.net/u012317281/article/details/38115515
