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这道题是数学题，由题目可知，m个稳定数的取法是Cnm
然后剩下n-m本书，由于编号为i的书不能放在i位置，因此其方法数应由错排公式决定，即D(n-m)
错排公式：D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2]);
所以根据乘法原理，答案就是Cnm * D(n-m)
接下来就是怎么求组合数的问题了
由于n≤1000000，因此只能用O(n)的算法求组合，这里用乘法逆元(inv[])来辅助求组合数
即 Cnm = n! / ((n-m)! * m!) = fac[n]*inv[n-m]*inv[m]
那么乘法逆元是什么呢？
假设一个数a，且a关于P的乘法逆元为x
那么 ax≡1 (mod P). 当且仅当 a 与 P 互质时x有解
简单的说，就是找一个数x，使得(x*a) mod P = 1
不难得出三者符合 ax+Py=1 (裴蜀定理), y可能是负数
因此我们可以用拓展欧几里得算出x的值，即为乘法逆元(用inv保存)
对于求出inv的过程，我们可以不必每次暴力求拓展欧几里得，可由下列递推式O(n)求出
inv[i]=(i+1)*inv[i+1]
而D数组只要O(n)推即可，其中D[0]=1, D[1]=0;
这道题让我明白。。组合数可以O(n)求得，了解了乘法逆元是什么，并且了解到世界上有个叫错排公式的神奇东西Orz
#include<stdio.h> #include<algorithm> #include<string.h> #define LL long long using namespace std; const int maxn = 1000005; const LL MOD = 1e9+7; int T,n,m; LL f[maxn],inv[maxn],d[maxn]; inline void read(int &x){ char c=getchar(); x=0; while (c<‘0‘ || c>‘9‘) c=getchar(); while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) x=x*10+c-48, c=getchar(); } inline LL ex_gcd(LL &x, LL &y, LL a, LL b){ if (b==0){ x=1; y=0; return a; } LL res=ex_gcd(x,y,b,a%b); LL t=x; x=y; y=t-a/b*x; return res; } inline LL calc(LL a, LL b){ LL x,y; if (ex_gcd(x,y,a,b) == 1LL) return (x+b)%b; } int main(){ read(T); f[0]=1; for (int i=1; i<=maxn; i++) f[i]=f[i-1] * (LL)i % MOD; inv[1000000]=calc(f[1000000],MOD); for (int i=maxn-6; i>=0; i--) inv[i]=inv[i+1] * (LL)(i+1) % MOD; d[0]=1; d[1]=0; d[2]=1; for (int i=3; i<=maxn; i++) d[i]=(LL)(i-1)*(d[i-1]+d[i-2]) % MOD; while (T--){ read(n); read(m); LL ans=1LL; //printf("haha %lld %lld %lld %lld\n", f[n], inv[n-m], inv[m], d[n-m]); ans=ans*f[n]*inv[n-m] % MOD; ans=ans*inv[m] % MOD; ans=ans*d[n-m] % MOD; printf("%lld\n", ans); } return 0; }
bzoj4517: [Sdoi2016]排列计数--数学+拓展欧几里得
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原文地址：http://www.cnblogs.com/mzl120918/p/5432740.html
