快速求幂

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快速幂在算指数时是很高效的，他的基本原理是二进制。

如果要算

2^5，可以直接2*2*2*2*2

但是如果要算

3^999，指数N太大，计算太慢，所以有一种快速的解法。

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以3^21为例。

2^21=(2^16)×(2^4)×(2^1)

21的二进制可以写成（10101）----------------而10101可以写成1*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0

可以明显看出， 每一个香对应着上边的指数。   2^4=16 2^2=4; 2^0=1   其他项为0；

（具体推理有空再写）

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再找一个例子

2^13

13=(1101),-----------------1*2^3+1*2^2+1*2^0, 指数分别是8，4，1；

 2^13=2^(8+4+1)

///////A^(一个二进制数如101010)=A^(100000)*A^(00000)*A(1000)*A^(000)*A^(10)*A^(0)=A^(2^5)*A^(2^3)*A^(2^1)

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所以要计算X^N，现将N变成二进制，然后依次计算二进制的每位的值（如果为二进制位为0不计算）

@@@@@@@@@@二进制的计算@@@@@@@@@@@@@@

计算13的二进制，对其除2取余，记录余数。

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代码如下：

 1 int pow_n(int x, int n)
 2 {
 3     int pw = 1;
 4     
 5     while (n > 0) {
 6         if ((n % 2) == 1)
 7             pw *= x;
 8         x *= x;
 9         n /= 2;
10 
11     }
12     return pw;
13 }

计算2^13的步骤就是：

13=（1101）
n%2, 最低位是1， 所以把这部分累乘到pw中,(pw=2^1)x自乘后变成x^2,n=n/2;
n 的这一位是0，所以if不成立，不执行累2乘，    x自乘后变成x^4,n=n/2;
n 的这一位是1，(pw=2^1*2^4),所以累乘到pw中。x自乘后变成x^8,n=n/2;
n 的这一位是1，(pw=2^1*2^4*2^8)所以累乘到pw中。

这是快速求幂的思想，把指数n 分解为2的幂次的和，利用自乘计算x 的(2的幂次)次方, 然后根据需要决定是否累乘相应的幂次。

这样可以把O(n)次乘法缩短到O(logn)次乘法，实现快速计算。

n=n/2和 (n%2==1)是检查指数n 的某个二进制位是否是1的手段。

快速求幂

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原文地址：http://www.cnblogs.com/hutonm/p/5433149.html