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三维坐标系的旋转矩阵

时间：2016-04-26 01:53:01 阅读：263 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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转载自；http://m.blog.csdn.net/blog/qiuqchen/21980731

为了方便自己记忆，记录一下三维坐标旋转矩阵的推导过程。

坐标的旋转变换在很多地方都会用到，比如机器视觉中的摄像机标定、图像处理中的图像旋转、游戏编程等。

任何维的旋转可以表述为向量与合适尺寸的方阵的乘积。最终一个旋转等价于在另一个不同坐标系下对点位置的重新表述。坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ。

若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

假设三维坐标系中的某一向量 $技术分享$ ，其在直角坐标系中的图如图1所示。其中点P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分别为点M、点P、点N。

技术分享

图1 直角坐标系XYZ

一、 $技术分享$ 绕Z轴旋转θ角

绕Z轴旋转，相当于 $技术分享$ 在XY平面的投影OM绕原点旋转，如下图所示，OM旋转θ角到OM‘。

技术分享

图2 向量绕Z轴旋转示意图

设旋转前的坐标为 $技术分享$ ，旋转后的坐标为 $技术分享$ ，则点M的坐标为 $技术分享$ ，点M‘的坐标为 $技术分享$ 。由此可得：

技术分享

对于 $技术分享$ 和 $技术分享$ 进行三角展开可得：

技术分享

且有 $技术分享$ ;可得绕Z轴旋转 $技术分享$ 角的旋转矩阵为：

技术分享

二、 $技术分享$ 绕X轴旋旋转θ角

绕X轴旋转，相当于 $技术分享$ 在YZ平面的投影ON绕原点旋转，如下图所示，ON旋转θ角到ON‘。

技术分享

图3 向量绕X轴旋转示意图

设旋转前的坐标为 $技术分享$ ，旋转后的坐标为 $技术分享$ ，则点N的坐标为 $技术分享$ ，点N‘的坐标为 $技术分享$ 。由此可得：

技术分享

对于 $技术分享$ 和 $技术分享$ 进行三角展开可得：

技术分享

且有 $技术分享$ ;可得绕X轴旋转 $技术分享$ 角的旋转矩阵为：

技术分享

三、 $技术分享$ 绕Y轴旋旋转θ角

绕Y轴旋转，相当于 $技术分享$ 在XZ平面的投影OQ绕原点旋转，如下图所示，OQ旋转θ角到OQ‘。

技术分享

图4 向量绕Y轴旋转示意图

设旋转前的坐标为 $技术分享$ ，旋转后的坐标为 $技术分享$ ，则点Q的坐标为 $技术分享$ ，点Q‘的坐标为 $技术分享$ 。由此可得：

技术分享

对于 $技术分享$ 和 $技术分享$ 进行三角展开可得：

技术分享

且有 $技术分享$ ;可得绕Y轴旋转 $技术分享$ 角的旋转矩阵为：

技术分享

四、绕X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵分别为：

技术分享

五、总结

啰啰嗦嗦终于打完所有的公式了，其实三个轴会推导其中一个轴的旋转矩阵的话，另外两个轴也类似地可以很容易推导出来。这里给出所有的推导过程只是为了我自己记忆的方便。当然也可以不旋转向量，而使用旋转坐标系的方法推导，两种方法是等价的。

公式的输入我使用了这篇博客http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937给出的方法。还有一个小技巧，就是可以双击公式，在最上面的工具栏“图片”选项里直接修改公式的内容。

参考：

1、《学习OpenCV》

2、公式输入：http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937

3、在线编辑公式：http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

三维坐标系的旋转矩阵

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原文地址：http://www.cnblogs.com/-liszt/p/5433421.html

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