之前我们已经大概学习了用线性回归（Linear Regression）来解决一些预测问题，详见：
1.《机器学习笔记01：线性回归(Linear Regression)和梯度下降(Gradient Decent)》
2.《机器学习笔记02：多元线性回归、梯度下降和Normal equation》
3.《机器学习笔记03：Normal equation及其与梯度下降的比较》

---

说明：本文章所有图片均属于Stanford机器学课程，转载请注明出处

---

面对一些类似回归问题，我们可以通过线性回归方法来拟合一个函数，以此来预测数据，但它的输出是连续的。有时候呢，我们需要一种方法给出一个判定结果，例如”同意(agree)”、”不同意(disagree)”。、下面呢就是关于这个方法的新内容，叫做分类(Classification)问题。又例如，如果我们需要预测一辆汽车是好的还是坏的，只有两种结果：好、坏。这种输出为0或者1的问题，就叫做分类问题，而我们对应与此种问题所采用的方法即是逻辑回归(Logistic regression)。

---

1.分类及其表示(Classification and Representation)

i.分类(Classification)

首先来看看分类(Classification)问题，在第一段中已经简单介绍了什么是分类问题，下面再来举几个例子：

Examples	Purposes
Email	Spam / Not Spam?
Online Transaction	Fraudulent (Yes / No?)
Tumor	Malignant / Benign?

第一个例子是判断垃圾邮件，对一封邮件，我们需要判断它是否为垃圾邮件；第二个例子是在线交易，我们需要判断这个交易是否有欺诈的嫌疑；最后一个例子是肿瘤评估，我们需要对一个病人的病情进行综合分析，来判断肿瘤是恶性的还是良性的。

详细地，我们以肿瘤评估为例。我们有如下图所示的一些样本，其横坐标表示肿瘤的大小，纵坐标表示性态（良性还是恶性）：

假设我们用一条直线 $h_\theta(x)=\theta^TX$ 来拟合这些数据，其图像可能大致如下：

如上图所示， $h_\theta(x)$ 为紫色的直线，如果我们选择 $0.5$ 作为一个基准点来判断一个肿瘤是良性还是恶性的: $$If\quad h\theta(x) \ge 0.5 \quad,predict\quad "y=1"$$ $$If\quad h\theta(x) < 0.5 \quad,predict\quad "y=0"$$ 那么对于上面的数据，看起来好像还不错。但是我们增加一组额外的样本来看看：

如上图所示，我们增加了一组数据，通过线性回归（Linear Regression）得到了一条蓝色的直线，但是其看起有点不那么理想，例如有几个恶性肿瘤，也会被分类为良性肿瘤。所以，在分类问题中，线性回归通常不是一个很好的办法。所以我们需要使用逻辑回归(Logistic regression)来解决分类问题。逻辑回归是一个分类算法(classification algorithm)在逻辑回归中，我们要求 $0\le h_\theta(x) \le 1$，下面我们就来看看逻辑回归的假设函数。

---

ii.假设函数(Hypothesis)

上面我们提到了，在只有两种结果的分类问题中，它的输出不是 $0$ 即是 $1$ ，所以我们想要将分类器(classifier)的输出控制在 $[0,1]$ 上。在线性回归中，我们的假设函数为 $h_\theta(x) = \theta^TX$ ，显然其输出并不只限于区间 $[0,1]$ ，所以线性回归中的假设函数在逻辑回归(Logistic regression)中是不合适的。这里我们使我们的假设函数为：

$$h_\theta(x) =g( \theta^TX)$$ 其中，函数$g$的形式为： $$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$ 其图像为：

其与 $y$ 轴的交点为 $(0, 0.5)$ ，所以假设函数为： $$h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^TX}}$$

---

现在我们来看一下逻辑回归(Logistic regression)的假设函数的具体意义是什么。
这里的函数 $h_\theta(x)$ 代表的是关于输入 $x$ ，使得 $y=1$ 的可能性。来举个例子：
假设有两个特征：

$$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 \\ tumorSize \end{matrix} \right]$$ 其中 $x_1$ 为 1，这是我们之前约定好的（文章开头列出的文章）， $x_2$ 表示肿瘤的大小。假如 $h_\theta(x) = 0.7$ ，这就表示病人的肿瘤为 恶性肿瘤的可能性为 $0.7$ 。进一步地，可以将假设函数表示为： $$h_\theta(x) = P(y=1|x;\theta)$$
即给定参数 $\theta$ ，关于输入 $x$ ，使得 $y=1$ 的可能性。进一步，我们也可以知道如下的结论： $$P(y=0|x;\theta)+P(y=1|x;\theta)=1$$ $$P(y=0|x;\theta)=1-P(y=0|x;\theta)$$ 假设函数的形式就讲到这里，下面讲一讲判定界限(Decision boundary)。

---

iii.判定界限(Decision Boundary)

前面提到了 $h_\theta(x) = P(y=1|x;\theta)$ ，那什么时候 $h_\theta(x)$ 的值为 $1$ ，什么时候为 $0$ 呢？一般规定：

$$\begin{cases} 1 & \text{if $h_\theta(x)\ge 0.5$} \text{ ;} \0 & \text{if $h_\theta(x)< 0.5$} \text{ .} \end{cases}$$ 同时，我们发现对于函数 $g(z)$ ：

当 $z\ge0$ 时，$h_\theta(x)\ge 0.5$ ,当 $z<0$ 时，$h_\theta(x)< 0.5$ 。即对于 $h_\theta(x) =g( \theta^TX) \ge 0.5$ ，有 $\theta^TX \ge 0$ ；同理，对于 $h_\theta(x) =g( \theta^TX) < 0.5$ ，有 $\theta^TX < 0$ 。

现在我们就来看看判定界限(Decision boundary)的具体内容，假如我们有如图所示的样本集合：

同时假设，假设函数(hypothesis function)为 $h_\theta(x)=g(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2)$ ，并假设 $\theta_0=-3, \theta_1=\theta_2=1$ 。所以此时有： $$z=-3+x_1+x_2$$ 根据前面的内容，我们知道若要 $y=1$，就必须使得 $z\ge0$ ，在这里即使得： $$-3+x_1+x_2\ge0$$ 其等价于： $$x_1+x_2 \ge 3$$ 。 我们将直线 $x_1+x_2 = 3$ 的图像添加到上面的样本分布图中可以得到如下图像：

根据高中就学过的线性规划知识，为与直线右上方的点都能满足不等式 $-3+x_1+x_2\ge0$ ，即满足 $z\ge0$ 。而这条直线就是所谓的判定界限(Decision boundary)。同时需要指出的是，这条直线只跟参数 $\theta$ 有关，跟样本集无关。

再来看看非线性的情况，样本集如下：

若假设函数为 $h_\theta(x)=g(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_1^2+\theta_4x_2^2)$ ，假设 $$\theta=\left[\begin{matrix} -1\\0\\0\\1\\1 \end{matrix}\right]$$ 则若要 $h_\theta(x)\ge 0.5$（或者说要是得$y=1$），就必须使得： $$-1+x_1^2+x_2^2\ge0$$ 即： $$x_1^2+x_2^2\ge1$$ 若把曲线 $x_1^2+x_2^2=1$ 的图像添加到上面的样本集中，可以得到如下图像：

所以图中这条紫色的线也就是函数 $h_\theta(x)=g(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_1^2+\theta_4x_2^2)$ 的判定界限(Decision boundary)。如果我们的假设函数更加复杂，其判定界限的形状会更加的奇怪，并且不仅只限于二维、三维，也可以是一条高维的曲线，只是我们无法用图形表示出来。接下来讨论误差函数。

---

逻辑回归模型(Logistic Regression Model)

i.误差函数(Cost Function)

同线性回归一样，我们需要一个误差函数来帮助我们选择最佳的参数 $\theta$ 。假设有 $m$ 组训练集 $\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})\}$ ，其中

$$x=\left[\begin{matrix} x_0\\x_1\\x_2\\...\\x_n \end{matrix}\right], \quad x_0=1,\quad y\in\{0,1\}$$ ，我们有假设函数： $$h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^TX}}$$ 那么到底怎么得到最优的 $\theta$ 呢？首先要做的就是更改误差函数的形式。

在线性回归中，误差函数为：

$$J(\theta_0,\theta_1,...,\theta_n)=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$
将求和前面的 $\frac{1}{2}$ 放到求和部分里面得到： $$J(\theta_0,\theta_1,...,\theta_n)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \frac{1}{2}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$ 在这里，我们换一种形式来表示函数来代替 $\frac{1}{2}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$ ： $$Cost(h_\theta(x^{(i)}),y^{(i)})=\frac{1}{2}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$ , 如果把上标 $i$ 去掉，得到： $$Cost(h_\theta(x),y)=\frac{1}{2}(h_\theta(x)-y)^2$$ 然而非常不幸的是，如果我们将假设函数 $h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^TX}}$ 代入函数 $Cost(h_\theta(x),y)$ ，再将函数 $Cost(h_\theta(x),y)$ 代入误差函数 $J(\theta)$ ，所得到的误差函数并不是一个凹函数或者凸函数，意思是函数 $J(\theta)$ 将会有局部最优点(local optima)，所以不能对误差函数执行梯度下降法：

而我们需要的误差函数应该是这样的：

为了能够使用梯度下降发求得最佳 $\theta$ ，我们将误差函数做一些改变。这里，我们引入新的误差函数： $$Cost(h_\theta(x),y)=\begin{cases} -log(h_\theta(x)) & \text{if $y=1$} \text{ ;} \-log(1-h_\theta(x)) & \text{if $y=0$} \text{ .} \end{cases}$$
为什么要把上面这个分段函数作为误差函数呢？我们可以看出，当 $y=1$ 的时候，其图像为：

从图中可以看出，在训练的过程中，如果样本的输出 $y=1$ ，预测值 $h_\theta(x)$ 也为 $1$，那么其误差 $Cost = 0$ 。而当样本的输出 $y=1$ ，预测值 $h_\theta(x)$ 为 $0$ 时，那么其误差 $Cost = \infty$ ，所以这是一个比较好的误差函数模型。
而当 $y=0$ 的时候，其图像为：

跟上面同理，如果样本的输出 $y=0$ ，预测值 $h_\theta(x)$ 为 $1$，那么其误差 $Cost = \infty$ 。而当样本的输出 $y=0$ ，预测值 $h_\theta(x)$ 也为 $0$ 时，那么其误差 $Cost = 0$ 。而且我们可以看到，这个误差函数是没有局部最优值的，所以我们可以在这个误差函数上执行梯度下降法。

---

ii.简化的误差函数和梯度下降(Simplified Cost Function and Gradient Descent)

简化的误差函数(Simplified Cost Function)

之前我们提到误差函数：

$$J(\theta)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m Cost(h_\theta(x^{(i)}),y^{(i)})$$ $$Cost(h_\theta(x),y)=\begin{cases} -log(h_\theta(x)) & \text{if $y=1$} \text{ ;} \-log(1-h_\theta(x)) & \text{if $y=0$} \text{ .} \end{cases}$$
注意：其中 $y$ 总是为 $1$ 或 $0$ 。，但是上面这个形式不利于我们进行一些计算，比如求偏导。所以我们把函数 $Cost(h_\theta(x),y)$ 改写为： $$Cost(h_\theta(x),y)=-ylog(h_\theta(x))-(1-y)log(1-h_\theta(x))$$ 由上面这个式子可知：

如果	则
$y=1$	$Cost(h_\theta(x),y)=-ylog(h_\theta(x))$
$y=0$	$Cost(h_\theta(x),y)=-(1-y)log(1-h_\theta(x))$

所以我们可以将误差函数改写为：

$$\begin{aligned} J(\theta) &=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m Cost(h_\theta(x^{(i)}),y^{(i)}) \&=-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)} log(h_\theta(x^{(i)})) +(1-y^{(i)}) log(1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{aligned}$$ 这个形式的误差函数就便于我们进行梯度下降了。

---

梯度下降(Gradient descent)

跟线性回归如出一辙，在逻辑回归中，我们也需要用梯度下降来求解 $\theta$ 。和线性回归一样，梯度下降的形式如下：

$$\begin{align*} & Repeat \; \lbrace \newline & \; \theta_j := \theta_j - \alpha \dfrac{\partial}{\partial \theta_j}J(\theta) \newline & \rbrace \end{align*}$$ 和线性回归相同，我们通过对 $\theta_j$ 求偏导直到收敛： $$\begin{align*} & Repeat \; \lbrace \newline & \; \theta_j := \theta_j - \frac{\alpha}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)} \newline & \rbrace \end{align*}$$ 其中 $\sum_{i=1}^m h_\theta(x^{(i)})$ 可以向量化为 $g(X \theta )$ ， $\sum_{i=1}^m y^{(i)}$ 可以向量化为 $\vec{y}$ ，$\sum_{i=1}^m x_j^{(i)}$ 可以向量化为 $X^T$ ，所以将上面这个式子向量化后得到： $$\large \theta := \theta - \frac{\alpha}{m} X^{T} (g(X \theta ) - \vec{y})$$ 其中 $$X=\left[\begin{matrix} x_0^{(1)}&x_1^{(1)}&x_2^{(1)}&...&x_n^{(1)}\x_0^{(2)}&x_1^{(2)}&x_2^{(2)}&...&x_n^{(2)}\x_0^{(3)}&x_1^{(3)}&x_2^{(3)}&...&x_n^{(3)}\...&...&...&...&...\x_0^{(m)}&x_1^{(m)}&x_2^{(m)}&...&x_n^{(m)}\\end{matrix} \right]$$ 所以 $$X^T=\left[\begin{matrix} x_0^{(1)}&x_0^{(2)}&x_0^{(3)}&...&x_0^{(m)}\x_1^{(1)}&x_1^{(2)}&x_1^{(3)}&...&x_1^{(m)}\x_2^{(1)}&x_2^{(2)}&x_2^{(3)}&...&x_2^{(m)}\...&...&...&...&...\x_n^{(1)}&x_n^{(2)}&x_n^{(3)}&...&x_n^{(m)}\\end{matrix} \right]$$ 另外需要注意 $(g(X \theta ) - \vec{y})$ 是一个 $m$ 维的列向量，上式的正确性是可以肯定的。

也许有人会问，前面的误差函数一大堆嵌套，为什么求偏导还是等于 $\frac{\alpha}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)}$ ，下面就来求一求(高能预警，计算量巨大)。

1.为了方便后面的计算，我们先求函数 $g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$ 的导数：

$\begin{aligned}g(x)’ &=\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)’ =\frac{-(1+e^{-x})’}{(1+e^{-x})^2} =\frac{-1’-(e^{-x})’}{(1+e^{-x})^2} =\frac{0-(-x)’(e^{-x})}{(1+e^{-x})^2} =\frac{-(-1)(e^{-x})}{(1+e^{-x})^2} =\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} \newline &=\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\left(\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\right) =g(x)\left(\frac{+1-1 + e^{-x}}{1+e^{-x}}\right) =g(x)\left(\frac{1 + e^{-x}}{1+e^{-x}} - \frac{1}{1+e^{-x}}\right) =g(x)(1 - g(x))\end{aligned}$

好了，然后再来求 $J(\theta)$ 的偏导：

$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) &= \frac{\partial}{\partial \theta_j} \frac{-1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ y^{(i)} log (h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)}) log (1 - h_\theta(x^{(i)})) \right ] \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ y^{(i)} \frac{\partial}{\partial \theta_j} log (h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)}) \frac{\partial}{\partial \theta_j} log (1 - h_\theta(x^{(i)})) \right ] \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ \frac{y^{(i)} \frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x^{(i)})}{h_\theta(x^{(i)})} + \frac{(1-y^{(i)})\frac{\partial}{\partial \theta_j} (1 - h_\theta(x^{(i)}))}{1 - h_\theta(x^{(i)})} \right ] \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ \frac{y^{(i)} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \sigma(\theta^T x^{(i)})}{h_\theta(x^{(i)})} + \frac{(1-y^{(i)})\frac{\partial}{\partial \theta_j} (1 - \sigma(\theta^T x^{(i)}))}{1 - h_\theta(x^{(i)})} \right ] \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ \frac{y^{(i)} \sigma(\theta^T x^{(i)}) (1 - \sigma(\theta^T x^{(i)})) \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta^T x^{(i)}}{h_\theta(x^{(i)})} + \frac{- (1-y^{(i)}) \sigma(\theta^T x^{(i)}) (1 - \sigma(\theta^T x^{(i)})) \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta^T x^{(i)}}{1 - h_\theta(x^{(i)})} \right ] \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ \frac{y^{(i)} h_\theta(x^{(i)}) (1 - h_\theta(x^{(i)})) \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta^T x^{(i)}}{h_\theta(x^{(i)})} - \frac{(1-y^{(i)}) h_\theta(x^{(i)}) (1 - h_\theta(x^{(i)})) \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta^T x^{(i)}}{1 - h_\theta(x^{(i)})} \right ] \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ y^{(i)} (1 - h_\theta(x^{(i)})) x^{(i)}_j - (1-y^{(i)}) h_\theta(x^{(i)}) x^{(i)}_j \right ] \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ y^{(i)} (1 - h_\theta(x^{(i)})) - (1-y^{(i)}) h_\theta(x^{(i)}) \right ] x^{(i)}_j \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ y^{(i)} - y^{(i)} h_\theta(x^{(i)}) - h_\theta(x^{(i)}) + y^{(i)} h_\theta(x^{(i)}) \right ] x^{(i)}_j \newline &= - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}) \right ] x^{(i)}_j \newline &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left [ h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right ] x^{(i)}_j \end{align*}$$

所以说，不要怀疑，偏导数的确是这么多。误差函数就讲到这里。

---

iii.高级优化法(Advanced Optimization)

留个位置在这里，以后再写

---

多输出类型分类法(Multiclass Classification)

前面讲得都是输出为两类的情况，下面来讲讲多类（大于2）的分类问题。多类分类其实很简单，我们先来看几个生活中的例子：

问题	需要的分类
Email foldering	Work、Friends、Family、Hobby
Medical diagrams	Not ill、Cold、Flu
Weather	Sunny、Cloudy、Rain、Snow

上面三个例子都是我们可能遇到的分类问题，那么对于这种问题，该如何处理呢？
假设我们有如下的样本集：

我们一般采用一种叫 One-VS-All 的方法，即将一种类型看作一类，其它类型看作另一类：

所以，我们可以单独给每一个类都训练一个分类器(Classifier)，即可达到多类分类的目的。

---

上面就是逻辑回归、分类的大概内容，希望能帮助到大家。
如有错误，期望您能纠正，留言或者是e-mail：artprog@163.com
——–转载请注明出处——–