[剑指offer] 矩形覆盖

题目描述

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

输入描述

一个大矩形

输出描述

覆盖的方法数

题目分析

设 被n个2*1的小矩形无重叠地覆盖的方法总数为 f(n)

• 当n=1时，明显f(1)=1;

• 当n=2时，只能两个都横着或两个都竖着放，有f(2)=2;

• 当小矩形个数为n，来覆盖这个2*n的大矩形。第一步只有两种放法：

  　①竖着放，那么剩下的摆放总数为 f(n-1)

　　　②横着放，那么剩下的摆放总数为 f(n-２)。因为它下面的那块也跟随着它的摆放而确定（必须是一个横着放的小矩形）。

很容易看出满足斐波那契数列。

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）　　

指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……　

可以得出递推公式：

　　　　 | 1 　　　　(n=0 )
f(n) = 　 | 1 　　　　 (n=1 )
　　　　 | f(ｎ-1)＋f(n-2)　　(n>=2)

解法一 （递归） 　运行时间：924ms 　占用内存：654k

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target<=1) return 1;
        return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);
    }
}

递归效率不高，重复计算多，比如：

ｆ(4) = ｆ(3) + ｆ(2);
    　 = ｆ(2) + ｆ(1) + ｆ(1) + ｆ(0);
    　 = ｆ(1) + ｆ(0) + ｆ(1) + ｆ(1) + ｆ(0);

求ｆ(4)就要计算三次ｆ(1)和两次ｆ(0)，显然这是不行的。

解法二（动态规划）　　运行时间：29ms　占用内存：629k

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target<=1) return 1;
        int i =1;//f(0)
        int j =1;//f(1)
        for(;target>=2;target--){
            j+=i;
            i=j-i;
        }
        return j;
    }
}

显然这个快很多，n>=2时，根据 f(n)=f(ｎ-1)＋f(n-2)进行依次计算，最后得出 f（target）并返回。