《Mathematical Olympiad——组合数学》——计数

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  今天开始了对《Mathematical Olympiad》小丛书(组合、几何、代数、数论)的组合数学部分的学习。说来惭愧，身为一个大学生现在回头去做高中生玩的数学题去了……学习这套丛书嘛，当然是为了夯实一下数学底子，为了以后走更远的路打好基础。这套丛书的特点是从1往后一直排的习题集，目前个人比较喜欢以解决具体的题目为目的，然后在解题过程中去学习相关的理论和方法。因为这样让学习显得很有目的性，最重要的是，这种方法能够让人持续的做下去(起码是我)。总之今天是个开始，希望在今后的岁月里能够坚持下来，将这套小丛书学完。

  笔者关于小丛书的学习文章，基本会按照书中的顺序，对题目进行分析探讨，而需要补充的相关理论知识和原始模型，笔者将会在Richard教授的《组合数学》(机械工业出版社)中给出。

  这一章节是讨论计数的相关问题，也就是探讨在一个具体问题中方案数，概念很好理解，但是在具体的问题中却存在着很多思想的玄妙之处。

  问题一：将一个2003边形的每个顶点染成红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同，请问有多少种满足条件的方法？

  分析：直接求解似乎不太现实，将多边形的边数看成变量，我们设置T(n)记录方案数，应用简单的组合计数原理，容易看到T(3) = 6 , T(4) = 18。基于这么有限的条件，我们如何求解T(2003)呢？递推似乎是解决这种问题的好方法。

  我们考虑基于T(n-1)，在第n-1后面再加一个点形成n边形。

  如果第1个点和第n-1个点同色，对于第n个顶点我们有2种选择，而对于剩余n-1个顶点，我们基于n-2个顶点的方案数，每次添加一个和第一个顶点相同颜色的点，便完成了所有情况的构造，此时即得到2T(n-2)种方案。

  如果第1个点和第n-1个点异色，那么对于第n个顶点我们只有一种方案，便基于T(n-1)的基础上添加一个点即可，我们得到T(n-1)种方案。

  由此我们可以得到结论：T(n) = T(n-1) + 2T(n-2),结合初始条件，T(2003)显然是可求的。

  如果说我们有台计算机，那么基于上面的条件其实也就可以求解了，但如果没有的话，我们则需要进一步从这个递推式中挖掘信息。

  外延一种根据递推式求解通项的方法：对于递推式a(n+2) = pa(n+1) + qa(n)，a1 = α，a2 = β,x^2 + px + q = 0是其特征方程的根，x1、x2为特征方程的解。当x1 != x2,an = Ax1^(n-1) + Bx2^(n-1) ；而当x1 = x2 , an = (A + Bn)x^(n-1)。其中A和B通过初始条件a1、a2的值，利用待定系数的方法求解。

  那么考察此题给出递推等式，我们可得出an的通项，T(2003)也不难求解了。

《Mathematical Olympiad——组合数学》——计数

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原文地址：http://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5441902.html