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二部图及其最大匹配：
二部图：对于无向图G（V，E），若能将其顶点分成V1，V2两个不相交的非空子集，使得G中的任何一条边的两个端点一个属于V1，另一个属于V2，那么该图就称为二部图。
性质：一个无向图G（V，E）是二部图当且仅当G中不存在长度为奇数的回路。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
匈牙利算法求解最大匹配：
思路： 算法的思路是不停的找增广路径,并增加匹配的个数,增广路径顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径，在匹配问题中,增广路径的表现形式是一条"交错路径"，也就是说这条由图的边组成的路径，它的第一条边是目前还没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配，并且始点和终点还没有被选择过。这样交错进行，显然他有奇数条边。那么对于这样一条路径，我们可以将第一条边改为已匹配，第二条边改为未匹配...以此类推。也就是将所有的边进行"反色"，容易发现这样修改以后，匹配仍然是合法的，但是匹配数增加了一对。可以知道，当图中找不到增广路时，就得到了改图的最大匹配。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）
增广路的特点：在一条增广路中, 未匹配的边总是比匹配的边多一条，
所以可以通过修改边将增广路中匹配的边都换成未匹配的边，这每找到一条增广路，匹配就增加一个。如此往复，当找不到增广路，就得到了二分图的最大匹配.
匈牙利算法的模板：
/* **************************************************************************
//二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）
//初始化：g[][]两边顶点的划分情况
//建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配
//g没有边相连则初始化为0
//uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数
//调用：res=hungary();输出最大匹配数
//优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解
//时间复杂度:O(VE)
//***************************************************************************/
//顶点编号从0开始的
const int MAXN=510;
int uN,vN;//u,v数目
int g[MAXN][MAXN];
int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
bool dfs(int u)//从左边开始找增广路径
{
int v;
for(v=0;v<vN;v++)//这个顶点编号从0开始，若要从1开始需要修改
if(g[u][v]&&!used[v])
{
used[v]=true;
if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))
{//找增广路，反向
linker[v]=u;
return true;
}
}
return false;//这个不要忘了。
}
int hungary()
{
int res=0;
int u;
memset(linker,-1,sizeof(linker));
for(u=0;u<uN;u++)
{
memset(used,0,sizeof(used));
if(dfs(u)) res++;
}
return res;
}<pre name="code" class="objc">模板二：邻接表实现
/以hdu1054 为例：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;
//************************************************
const int MAXN=1505;//这个值要超过两边个数的较大者，因为有linker
int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
vector<int>map[MAXN];
int uN;
bool dfs(int u)
{
for(int i=0;i<map[u].size();i++)
{
if(!used[map[u][i]])
{
used[map[u][i]]=true;
if(linker[map[u][i]]==-1||dfs(linker[map[u][i]]))
{
linker[map[u][i]]=u;
return true;
}
}
}
return false;
}
inthungary()
{
int u;
int res=0;
memset(linker,-1,sizeof(linker));
for(u=0;u<uN;u++)
{
memset(used,false,sizeof(used));
if(dfs(u)) res++;
}
return res;
}
//*****************************************************
int main()
{
int u,k,v;
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=0;i<MAXN;i++)
map[i].clear();
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d:(%d)",&u,&k);
while(k--)
{
scanf("%d",&v);
map[u].push_back(v);
map[v].push_back(u);
}
}
uN=n;
printf("%d\n",hungary()/2);
}
return 0;
}
模板转载自http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657446.html
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目 最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择 最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连 最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理） 定理2：最大匹配数 = 最大独立数 定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数 二分图最小顶点覆盖的证明 首先，回顾一下二分图最小点覆盖的定义： 二分图中，选取最少的点数，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖），叫做最小点覆盖。 最少点数=最大匹配数 结合昨天看的介绍，，今天按照我的理解给出自己的证明（原创，仅作参考，欢迎讨论） 从最大匹配数到底能不能覆盖所有的边入手。 因为已知了最大匹配，所有再也不能找到增广路了，有最大匹配定义知。 现在所有的边就剩下两种情况了，一种是匹配，一种是不匹配。 假设所有的匹配边有n条，那么左右边就都有n个匹配边的顶点了，标记所有左边匹配边的顶点，则有n个。 问题就是证明n=最小点覆盖，即证明最大匹配数n到底能不能覆盖所有的边入手。 考察右边的匹配边的顶点，明显，左边都可以找到其匹配点且为n，说明所有匹配边已经被这左边的n个点关联了。
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原文地址：http://blog.csdn.net/bokzmm/article/details/51277607
