SAR成像学习（三）距离方向成像matlab代码解析 1

本文将结合matlab代码讲解SAR距离向成像问题。
本文只研究距离向，且是正侧视情况。
文中以同一方位向坐标上四个目标点的成像为例，这四个目标的关系如下：

目标的相关信息：

% 关于目标
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Xc=2.e3;                 % Range distance to center of target area
X0=50;                   % target area in range is within [Xc-X0,Xc+X0]
ntarget=4;                        % number of targets
%%%%%%%%%%%%% Targets‘ parameters  %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% xn: range;               fn: reflectivity 发射系数
%
xn(1)=0;                   fn(1)=1;
xn(2)=.7*X0;               fn(2)=.8;
xn(3)=xn(2)+2*dx;          fn(3)=1.;
xn(4)=-.5*X0;              fn(4)=.8;
%注意这里的xn是相对于中间的Xc的位置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 关于发射信号
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
colormap(gray(256))
cj=sqrt(-1);
pi2=2*pi;
%
c=3e8;                   % Propagation speed
B0=100e6;                % Baseband bandwidth is plus/minus B0 注意这里的带宽是2B0
w0=pi2*B0;
fc=1e9;                  % Carrier frequency
wc=pi2*fc;

Tp=.1e-6;               % Chirp pulse duration

alpha=w0/Tp;             % Chirp rate
wcm=wc-alpha*Tp;         % Modified chirp carrier 即是式子中的beta
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1 问题的描述

第一步是个正问题，主要由硬件完成，第二步是个逆问题，主要由软件完成。
第一个问题的输入$f_0(x)$是地面目标的理想函数，其与发射信号$p(t)$的联合起来之后得到输c出：回波信号$s(t)$。
第二个问题的输入是$s(t)$，通过与$p^{*}(-t)$匹配滤波，得到输出$f(x)$。这个输出就是我们想要的。如何得到$f(x)$就是我们的核心问题。
理想情况下$f(x) = f_0(x)$，这意味着我们得到了地面目标函数，也即是我们的影像完全真实地反映了地面的情况。但是，这是不可能实现的。不过，通过合理地解这个逆问题，使得$f(x)$接近$f_0(x)$是成像的关键问题，也是我们不断努力的目标。

2 问题的分析和解决

2.1 再谈匹配滤波

2.2 采样

• 
  采样间隔，这个由信号带宽$2B_0$决定：
  $$\delta t <= 1/2B_0 = \pi/\omega_0$$
• 
  采样起止时刻：
  $$T_s = \dfrac{2(X_c - X_0)}{c}$$
  $$T_f = \dfrac{2(X_c + X_0)}{c} +　T_p$$
  其中，$T_p$表示信号持续的时间，最后加上这一项是为了避免出现回波信号中含有部分波的情况。
• 
  采样的时间段：
  $$t \in [T_s, T_f]$$
  $$T_f-T_s = \dfrac{4 X_0}{c}+　T_p$$
• 
  采样点数：
  $$n = 2*ceil((.5*(Tf-Ts))/dt)$$
  取这么多采样点是考虑到离散傅里叶变换的问题。
• 
  空间域和频率域采样序列：
  $$x_i = \dfrac{ct_i}{2} =(X_c-X_0) +(i-1)\dfrac{c\delta t}{2}$$
  $$\omega_i = \omega_c +(i-\dfrac{n}{2} - 1) \delta \omega$$
  $$\delta \omega = \dfrac{2\pi}{n\delta t}$$

该部分的代码是：

% 采样问题
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dt=pi/(2*alpha*Tp);      % Time domain sampling (gurad band plus minus
                         % 50 per) or use dt=1/(2*B0) for a general
                         % radar signal
%
Ts=(2*(Xc-X0))/c;        % Start time of sampling
Tf=(2*(Xc+X0))/c+Tp;     % End time of sampling

% Measurement parameters
n=2*ceil((.5*(Tf-Ts))/dt);   % Number of time samples
t=Ts+(0:n-1)*dt;             % Time array for data acquisition
dw=pi2/(n*dt);               % Frequency domain sampling
w=wc+dw*(-n/2:n/2-1);        % Frequency array (centered at carrier)
x=Xc+.5*c*dt*(-n/2:n/2-1);   % range bins (array); reference signal is
                             % for target at x=Xc.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2.3 结果

% 获得回波信号
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
s=zeros(1,n);              % Initialize echoed signal array
%暂时可以忽略
na=8;                      % Number of harmonics in random phase               
ar=rand(1,na);             % Amplitude of harmonics
ter=2*pi*rand(1,na);       % Phase of harmonics

for i=1:ntarget;
   td=t-2*(Xc+xn(i))/c;
   %注意这里的时间是对采样时间序列的一个延迟，另外有一个平移
   %这个要跟后面的参考信号也就是匹配滤波器对应上，而且他会影响恢复出来的f(x)的解译

   pha=wcm*td+alpha*(td.^2);         % Chirp (LFM) phase
   for j=1:na;                       % Loop for CPM harmonics 相位调制！可以暂时忽略
      pha=pha+ar(j)*cos((w(n/2+1+j)-wc)*td+ter(j));
   end;
   s=s+fn(i)*exp(cj*pha).*(td >= 0 & td <= Tp); %回波信号 注意是各个目标的回波信号的叠加 
   %特别注意这里的Tp，是脉冲持续的时间
end;

% Reference echoed signal
%
td0=t-2*(Xc+0)/c; 
%注意这里的时间参考点
%这个要跟前面的回波信号的时间对应上，而且他会影响恢复出来的f(x)的解译
pha0=wcm*td0+alpha*(td0.^2);         % Chirp (LFM) phase
for j=1:na;                          % Loop for CPM harmonics
   pha0=pha0+ar(j)*cos((w(n/2+1+j)-wc)*td0+ter(j));
end;
s0=exp(cj*pha0).*(td0 >= 0 & td0 <= Tp);

% Baseband conversion 解调 
% 这里和该系列前面讲的正交解调还是不一样的，当时讨论过
% 为什么会出来了复数图像，现在看来，这个问题有点幼稚。
% 线性调频信号本身就可以表示成复数，回波信号也是。
% 任何一个数只要我们愿意，都可以在形式上表示成复数（无非实数的虚数部分为零嘛）。
% 不应该觉得复数是什么奇怪的事情，而应该觉得它实实在在，就在那里，这是见得少了罢了。
%
sb=s.*exp(-cj*wc*t);
sb0=s0.*exp(-cj*wc*t);

plot(t,real(sb))%只是显示了振幅
xlabel(‘Time, sec‘)
ylabel(‘Real Part‘)
title(‘Baseband Echoed Signal‘)
axis(‘square‘)
axis([Ts Tf 1.1*min(real(sb)) 1.1*max(real(sb))])
print P1.1a.ps
pause(1)
%
plot(t,real(sb0))
xlabel(‘Time, sec‘)
ylabel(‘Real Part‘)
title(‘Baseband Reference Echoed Signal‘)
axis(‘square‘)
axis([Ts Tf 1.1*min(real(sb0)) 1.1*max(real(sb0))])
print P1.2a.ps
pause(1)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

注意图中只是画出了振幅信息，而忽略了相位信息，实际上相位信息是非常有用的，特别是在有的应用中。
匹配滤波及结果：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目标函数重建
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Fourier Transform
%
fsb=fty(sb);
fsb0=fty(sb0);

% Power equalization
% 这里是对参考信号做了一个处理，暂时可以先忽略
mag=abs(fsb0);
amp_max=1/sqrt(2);     % Maximum amplitude for equalization
afsb0=abs(fsb0);
P_max=max(afsb0);
I=find(afsb0 > amp_max*P_max);
nI=length(I);
fsb0(I)=((amp_max*(P_max^2)*ones(1,nI))./afsb0(I)).* ...
        exp(cj*angle(fsb0(I)));
%
% Apply a window (e.g., power window) on fsb0 here
%
E=sum(mag.*abs(fsb0));

%
% Matched Filtering
%
fsmb=fsb.*conj(fsb0);
%
%
% Inverse Fourier Transform
%
smb=ifty(fsmb);       % Matched filtered signal (range reconstruction)
%
% Display
%
plot(x,(n/E)*abs(smb))
xlabel(‘Range, meters‘)
ylabel(‘Magnitude‘)
title(‘Range Reconstruction Via Matched Filtering‘)
axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1]); axis(‘square‘)
print P1.6a.ps
pause(1)

3 如果不采用匹配滤波技术

% 另一种方法Time domain Compression
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%解调并压缩
td0=t-2*(Xc+0)/c;
scb=conj(s).* ...
     exp(cj*wcm*td0+cj*alpha*(td0.^2));  % Baseband compressed signal
%
plot(t,real(scb))
xlabel(‘Time, sec‘)
ylabel(‘Real Part‘)
title(‘Time Domain Compressed Signal‘)
axis(‘square‘)
print TimeDomainCompressedSignal.png
pause(1)

%因为上面的信号包含了与目标的位置相关的频率成分，所以只要进行一个傅里叶变换即可得到问题的解。
fscb=fty(scb);

X=(c*(w-wc))/(4*alpha);     % Range array for time domain compression 注意参考点
plot(X+Xc,(dt/Tp)*abs(fscb)) %?

xlabel(‘Range, meters‘)
ylabel(‘Magnitude‘)
title(‘Range Reconstruction Via Time Domain Compression‘)
axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1]); axis(‘square‘)
%axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1*max(abs(fscb))]); axis(‘square‘)
pause(1)

说明：
观察上面的结果和匹配滤波得到的结果可以发现明显的不同，这里的原因我暂时也不是特别清楚，也可能是这段代码有问题。但是必须注意到：这肯定是由于信号的压缩造成的。这个后面再回来说。

以上所有的分析中有一个问题被我掩盖了，那就是幅宽问题，如果幅宽很大，以上的分析没有问题，但是如果幅宽相对脉冲持续时间比较小，会带来一个问题，这个问题的解决需要在匹配滤波的过程中添加一些步骤。
未完待续。