高尔夫距离精度数据拟合——梯度下降法详解

Dataset

本文的数据集pga.csv包含了职业高尔夫球手的发球统计信息，包含两个属性：accuracy 和 distance。accuracy 精确度描述了命中球道（ fairways hit）的比例，Distances 描述的是发球的平均距离。我们的目的是用距离来预测命中率。在高尔夫中，一个人发球越远，那么精度会越低。

• 对于很多机器学习算法来说，输入数据会先进行一些预处理，比如规范化，因为当计算两个特征向量的距离时，当一个特征的取值很大，那么这个距离会偏向取值较大的那个特征。因此此处的精度是百分比，而距离是码数。此处用到的规范化方法是每个元素减去均值然后除以标准方差。

import pandas
import matplotlib.pyplot as plt
pga = pandas.read_csv("pga.csv")

# Normalize the data  DataFrame可以用{.属性名}来调用一列数据的方式，返回ndarray对象
pga.distance = (pga.distance - pga.distance.mean()) / pga.distance.std()
pga.accuracy = (pga.accuracy - pga.accuracy.mean()) / pga.accuracy.std()
print(pga.head())

plt.scatter(pga.distance, pga.accuracy)
plt.xlabel(‘normalized distance‘)
plt.ylabel(‘normalized accuracy‘)
plt.show()
‘‘‘
   distance  accuracy
0  0.314379 -0.707727
1  1.693777 -1.586669
2 -0.059695 -0.176699
3 -0.574047  0.372640
4  1.343083 -1.934584
‘‘‘

Linear Model

• 观察数据散点图，发现距离和精度呈现负相关。首先用基本的线性回归LinearRegression 来拟合数据：

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np

# We can add a dimension to an array by using np.newaxis
print("Shape of the series:", pga.distance.shape) #这是一个ndarray对象，但是大小没有指定，因此需要人为指定一个
print("Shape with newaxis:", pga.distance[:, np.newaxis].shape) 
‘‘‘
Shape of the series: (197,)
Shape with newaxis: (197, 1)
‘‘‘
# The X variable in LinearRegression.fit() must have 2 dimensions
lm = LinearRegression()
lm.fit(pga.distance[:, np.newaxis], pga.accuracy)
theta1 = lm.coef_[0]

Cost Function, Introduction

• 上述线性回归利用了sklearn中的包去估计模型的参数，用的是最小二乘法。最小二乘法通过矩阵计算可以很有效的拟合线性模型，并且提供确切的参数值。但是当矩阵的太大，也就是训练的模型太大，直接用矩阵运算是不现实的，这时候就需要用一些迭代的方法来求解参数的估计值。梯度下降就是常见的一种迭代算法。

# The cost function of a single variable linear model
def cost(theta0, theta1, x, y):
    # Initialize cost
    J = 0
    # The number of observations
    m = len(x)
    # Loop through each observation
    for i in range(m):
        # Compute the hypothesis 
        h = theta1 * x[i] + theta0
        # Add to cost
        J += (h - y[i])**2
    # Average and normalize cost
    J /= (2*m)
    return J

# The cost for theta0=0 and theta1=1
print(cost(0, 1, pga.distance, pga.accuracy))

theta0 = 100
theta1s = np.linspace(-3,2,100)
costs = []
for theta1 in theta1s:
    costs.append(cost(theta0, theta1, pga.distance, pga.accuracy))

plt.plot(theta1s, costs)

• 上面这段代码所做的工作是：将截距设置为100，系数设置为-3到2之间的100个等距离的值。然后计算每个系数所对应的模型的误差，误差公式如下，画出系数与误差的曲线图。发现在-0.7左右，模型的误差最小。

import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

theta0s = np.linspace(-2,2,100)
theta1s = np.linspace(-2,2, 100)
COST = np.empty(shape=(100,100))
# T0S：为100theta0s(theta1s的长度)行theta0s，T1S：为100列（theta0s的长度）theta1s
T0S, T1S = np.meshgrid(theta0s, theta1s)
# for each parameter combination compute the cost
for i in range(100):
    for j in range(100):
        COST[i,j] = cost(T0S[0,i], T1S[j,0], pga.distance, pga.accuracy)

# make 3d plot
fig2 = plt.figure()
ax = fig2.gca(projection=‘3d‘)
ax.plot_surface(X=T0S,Y=T1S,Z=COST)
plt.show()

• 上面这段代码首先用了一个新的函数meshgrid，参数为两个数组，第一个长度为m，第二个长度为n。因此返回的是第一个数组的n行复制，以及第二个数组的m列复制。举个例子：
  x = [1,2,3],y=[5,6]————X=[[1,2,3],[1,2,3]],Y=[[5,5,5],[6,6,6]].

• 上述代码生成了一组系数，并且将误差与系数一起画了一个3D图。图中最低的地方就是最优解。

Cost Function, Slopes

最小二乘法和梯度下降法有哪些区别？

1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。
2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方）。
3.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个参数向量，然后向误差值下降最快的方向调整参数，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。

当然, 其实梯度下降法还有别的其他用处, 比如其他找极值问题. 另外, 牛顿法也是一种不错的方法, 迭代收敛速度快于梯度下降法, 只是计算代价也比较高.

• 梯度下降法的步骤：初始化模型参数为w0，然后求误差关于每个参数的偏导，偏导的反方向就是下降最快的方向，因此将参数减去偏导的值，也可以加上学习率（下降的速度）：
  
  
• 计算第一个参数theta0偏导：

# Partial derivative of cost in terms of theta0
def partial_cost_theta0(theta0, theta1, x, y):
    # Hypothesis
    h = theta0 + theta1*x
    # Difference between hypothesis and observation
    diff = (h - y)
    # Compute partial derivative
    partial = diff.sum() / (x.shape[0])
    return partial

partial0 = partial_cost_theta0(1, 1, pga.distance, pga.accuracy)

Gradient Descent Algorithm

• 从之前的可视化图中，可以从视觉上感受到，不同的斜率和截距将带来不同的误差，为了减少模型的误差，我们必须找到误差函数中参数的最优值。下面这段代码就是计算梯度下降的详细代码，一气呵成，结合了前面的函数，所以在完成一个大的工程时，预先写好一些小功能，然后在最后，拼接在一起就可以完成一个很好的功能：此处用到前面计算误差的函数cost（），以及计算偏导的函数partial_cost_theta0（），学会这种编程方式。

# x is our feature vector -- distance
# y is our target variable -- accuracy
# alpha is the learning rate
# theta0 is the intial theta0 
# theta1 is the intial theta1
def gradient_descent(x, y, alpha=0.1, theta0=0, theta1=0):
    max_epochs = 1000 # Maximum number of iterations
    counter = 0      # Intialize a counter
    c = cost(theta1, theta0, pga.distance, pga.accuracy)  ## Initial cost
    costs = [c]     # Lets store each update
    # Set a convergence threshold to find where the cost function in minimized
    # When the difference between the previous cost and current cost 
    #        is less than this value we will say the parameters converged
    convergence_thres = 0.000001  
    cprev = c + 10   
    theta0s = [theta0]
    theta1s = [theta1]

    # When the costs converge or we hit a large number of iterations will we stop updating
    while (np.abs(cprev - c) > convergence_thres) and (counter < max_epochs):
        cprev = c
        # Alpha times the partial deriviative is our updated
        update0 = alpha * partial_cost_theta0(theta0, theta1, x, y)
        update1 = alpha * partial_cost_theta1(theta0, theta1, x, y)

        # Update theta0 and theta1 at the same time
        # We want to compute the slopes at the same set of hypothesised parameters
        #             so we update after finding the partial derivatives
        theta0 -= update0
        theta1 -= update1

        # Store thetas
        theta0s.append(theta0)
        theta1s.append(theta1)

        # Compute the new cost
        c = cost(theta0, theta1, pga.distance, pga.accuracy)

        # Store updates
        costs.append(c)
        counter += 1   # Count

    return {‘theta0‘: theta0, ‘theta1‘: theta1, "costs": costs}

print("Theta1 =", gradient_descent(pga.distance, pga.accuracy)[‘theta1‘])
descend = gradient_descent(pga.distance, pga.accuracy, alpha=.01)
plt.scatter(range(len(descend["costs"])), descend["costs"])
plt.show()