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思路:卡特兰数可以用来求括号序列的个数, 用了组合数学的知识。 该题其实就等价于求一个括号序列的个数, 因为满足任意时刻, 向右的步数大于等于向左的步数。 但是该题还有停止不动的情况, 所以我们不妨枚举向右的步数, 然后求出括号序列的组合数, 然后剩下的就是停止不动的步数, 用组合数插空即可。 另外, 除法取模要取逆元, 我们可以线性预处理出所有逆元。
细节参见代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<string> #include<vector> #include<stack> #include<bitset> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<set> #include<list> #include<deque> #include<map> #include<queue> #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) using namespace std; typedef long long ll; typedef long double ld; const ld eps = 1e-9, PI = 3.1415926535897932384626433832795; const int mod = 1000000000 + 7; const int INF = 0x3f3f3f3f; // & 0x7FFFFFFF const int seed = 131; const ll INF64 = ll(1e18); const int maxn = 1000100; ll inv[maxn], h[maxn], c[maxn]; int T,n,m; void init() { inv[1] = 1; for(int i = 2; i < maxn; i++) { //预处理逆元 inv[i] = ( mod - mod / i ) * inv[mod%i] % mod ; } } int main() { init(); scanf("%d",&T); h[1] = h[0] = 1; for(int i = 2; i < maxn; i++) { //求卡特兰数 h[i] = h[i - 1] * (4 * i - 2) % mod * inv[i + 1] % mod; } while(T--) { scanf("%d",&n); ll ans = 1; c[0] = 1; for(int i = 1; i <= n; ++i) { //求组合数 c[i] = c[i - 1] * (n - i + 1) % mod * inv[i] % mod; } for(int i = 1; ; ++i) { //枚举i, 表示有i步向右的方法数 int k = n - (i << 1); //有k步不动 if (k < 0) break; ans = (ans + h[i] * c[k]) % mod; } printf("%I64d\n", ans); } return 0; }
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原文地址:http://blog.csdn.net/weizhuwyzc000/article/details/51227707