线代个人总结

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齐次线性方程组一定有解

非齐次线性方程组三种情况：A_nxn

1.R(A)=R(Ab)=n唯一解（n为max,毕竟系数矩阵是方阵是方程组有唯一解的必要条件）

2.R(A)=R(Ab)<n无穷解

3.R(A)<R(Ab)无解

线性相关与线性无关与矩阵的解

定义：在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。

 有向量组A: a₁, a₂, ···, a_m,

 如果存在不全为零的数 k₁, k₂, ···,k_m , 使

k₁ a₁+ k₂ a₂+ ··· + k_m a_m= 0（*）

可以把这种线性关系看作齐次线性方程组解的形式，非齐次的情况就要把一个列向量移到等号右边去，前提是有非零成比例的列向量。

也就是说一个向量组除了线性相关就是线性无关

从*式可以看出，对于向量组构成的矩阵来说，至少存在两个列向量每一行都成比例即a_i=ka_j。(k≠0)

线性相关无关与矩阵秩的关系A_nxm线性相关：R(A)<m//在齐次线性方程组m=n的情况下，行阶梯没有延伸到底，可以找到变量之间的关系

线性无关：R(A)=m//在齐次线性方程组m=n的情况下，行阶梯一直延伸到最后一行，也就是说变量之间没有关系，每个变量都为0

//非齐次的情况则是每个变量都有其系数和所对应的b决定。

再说下矩阵的秩

秩，就是最大非零子式，为什么要化成行最简，因为，成比例的早消去了，随便找找就非零啊！

求秩

1.行变换

A~(r)=pA,经过一次行变换等于左乘一次对应的初等矩阵，R(A)=R(PA）//这其实是从秩的性质推出来的

 化成行最简，也就是在简化关系，使得1~n这几个未知量之间的关系细分下去，不再是整体的关系。因为都是一整行对令一整行的运算，故并不改变整个线性方程组的性质。//我也只能理解到这个层次了，虽然还yy是否有别的什么深层的解释，但都被脑内否决了

但是无论你怎么消去，对于非齐次线性方程组来说，行阶梯的方向并不会改变，因为你要保证与b的关系，反向的行阶梯只能保证首行的b。

线性相关的行变换：产生全为零的一行//按说成比例的列都能只保留一样，不过你要考虑列的位置和行阶梯的性质，这就显得没什么卵用了

线性无关的行变换：没有全为零的一行

2.列变换

 =============妈蛋好困，去睡

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原文地址：http://www.cnblogs.com/yuelien/p/5447906.html