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推论1：方程ax=b(mod n)对于未知量x有解，当且仅当gcd(a,n) | b。
推论2：方程ax=b(mod n)或者对模n有d个不同的解，其中d=gcd(a,n)，或者无解。
定理1：设d=gcd(a,n)，假定对整数x和y满足d=ax+by(比如用扩展Euclid算法求出的一组解)。如果d | b，则方程ax=b(mod n)有一个解x0满足x0=x*(b/d) mod n 。特别的设e=x0+n，方程ax=b(mod n)的最小整数解x1=e mod (n/d)，最大整数解x2=x1+(d-1)*(n/d)。
定理2：假设方程ax=b(mod n)有解，且x0是方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的解(d=gcd(a,n))，分别为：xi=x0+i*(n/d) mod n 。
求所有解的伪代码如下：
题目：poj 2115
思路：求A+x*C== B(mod 2^k ) 是否有解
若其有解，则xC == B-A(mod 2^k) 也有解；
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <stdlib.h> 4 #include <time.h> 5 #include <cmath> 6 #include <cstdio> 7 #include <string> 8 #include <cstring> 9 #include <vector> 10 #include <queue> 11 #include <stack> 12 #include <set> 13 14 #define c_false ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) 15 #define INF 0x3f3f3f3f 16 #define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f 17 #define zero_(x,y) memset(x , y , sizeof(x)) 18 #define zero(x) memset(x , 0 , sizeof(x)) 19 #define MAX(x) memset(x , 0x3f ,sizeof(x)) 20 #define swa(x,y) {LL s;s=x;x=y;y=s;} 21 using namespace std ; 22 typedef long long LL; 23 const int N = 1e5 + 7; 24 25 LL ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { 26 LL d; 27 if (b == 0) { 28 x = 1; y = 0; 29 return a; 30 } else { 31 d = ex_gcd(b, a%b, y, x); 32 y -= a/b*x; 33 return d; 34 } 35 } 36 37 LL Linear(LL a, LL b, LL c){ 38 LL d, e, x, y; 39 d = ex_gcd(a, c, x, y); 40 if(b%d){ 41 return -1; 42 } 43 e = x * (b/d) % c +c; 44 return e % (c/d); 45 } 46 47 int main(){ 48 //freopen("in.txt","r",stdin); 49 //freopen("out.txt","w",stdout); 50 //ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); 51 long long d,a,b,c,k; 52 while(scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d",&a,&b,&c,&k),a||b||c||k){ 53 d=Linear(c,b-a,1LL<<k); 54 if(d==-1) 55 puts("FOREVER"); 56 else 57 printf("%I64d\n",d); 58 } 59 return 0; 60 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/yoyo-sincerely/p/5452986.html
