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不论是在数论中，还是在组合数学中，都有着一些特殊的数列——斐波那契数、欧拉数，斯特林数、卡特兰数，这篇文章，笔者将带领读者去探寻历代数学家是如何从一些简单基本的问题中提炼出这些特殊的数列。
斯特林数：
斯特林数有两类，分别基于这不同情境的问题，我们首先介绍第二类斯特林数。
第二类斯特林数基于这样一个问题模型：将含有n个元素的集合分成k个非空子集(用S(n,k)表示)，有多少张种情况？
首先我们从几个简单的例子开始，显然，对于任意n>0,k=1,有S(n,k) = S(n,n) = 1。
而当n = 0时呢？S(0,1) = ?我们用文字描述一下这个式子想要表达的东西，空集分成一个非空集合的情况数，显然是不存在的，即S(0,1) = 0。
让我们进一步讨论k = 2的情况，对于S(n,2)，我们可以将其看成将第n个元素加入到前n-1个元素构成集合的一个任意子集中，由于这种选择最终不能形成空集，因此需要排除一种情况，即S(n,2) = 2^(n-1) - 1.
分析了k两种特殊取值，我们尝试用分析k=2时的思路进行推广式的分析。考察S(n,k)，我们可将其看成在n-1个元素的集合上进行一系列操作。对于第n个元素，无非有如下两种情况：
1.第n个元素单独一组，此时出现S(n-1，k-1)种情况。
2.第n个元素不是单独一组，此时出现k*S(n-1,k)种情况。
综合起来，得到第二类斯特林数的递推公式S(n,k) = S(n-1,k-1) + k*S(n-1,k)。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5459702.html
