个人笔记，可能错误

2.1 Peano公理

假设2.6
书中没有证明假设2.6，不知道为什么。

2.2 加法

公理2.5
看了这儿才知道，原来数学归纳法是公理，最基础的东西。

命题2.1.16
正如所说，这个命题定义了递归，通过一个函数，定义了n->$a_n$
->前面的n就是普通自然数，->后面的$a_n$ 也满足自然数的5条公理，一个例子是后面定义2.2.1中提到的$f_n(x)==x+3$ ,这里，“$a_n$”中的“0”，也就是c，为3，0++=4，以此类推。

定义2.2.1
书中写“为使m加上零，我们定义0+m:=m”，这里想了半天，为什么不是定义m+0:=m，感觉如果翻译成把0加到m上（英文原文是to add zero to m），就好理解多了，看来得中英文版本对着看

定义2.2.1后面为什么：两个自然数的和仍然是自然数
对于n+m，m为自然数，对n归纳
0+m=m为自然数，假设n+m为自然数
(n++)+m = (n+m)++，根据公理2.2得证

引例2.2.3后面为什么：n++=n+1
引例2.2.3中带入m=0
n+(0++)=(n+0)++，根据(公理2.2中定义)0++=1，而n+0=n（引例2.2.2），故
n+1=n++

习题2.2

2.2.1(a+b)+c=a+(b+c)
对c归纳，保持a、b固定，对于c=0，显然
(a+b)+0=a+(b+0)
假定(a+b)+c=a+(b+c)
(a+b)+c++=((a+b)+c)++
a+(b+c++)=a+(b+c)++=(a+(b+c)++
上面2式就是归纳假定
2.2.2存在自然数b，使得b++=a
由于自然数只有0不是正数，可以设第一个正数为a=0++，这样对于a，有b=0满足b++=a，假设对于a，存在b++=a，则(b++)++=a++
2.2.3
(a) a=b => $a\ge a$
(b)a=b+m, b=c+n则a=c+n+m=c+(n+m) => $a\ge c$
(c)a=b+m, b=a+n则a=a+n+m=a+(n+m)
由于a=a+0，所以n+m=0，根据推论2.2.9，m=0, n=0，所以a=b
(d)=>
对c归纳，c=0的情况就是前提$a\ge b$，假设c成立$a+c\ge b+c$, 即a+c=b+c+m，这样，
b+(c++)+m = 引理2.2.3
(b+c)++ +m = 加法定义
((b+c)+m)++ = 归纳假定
(a+c)++
而a+c++ = (a+c)++ 引理2.2.3
<=
由于a+c=b+c+m=b+m+c，根据命题2.2.6得出a=b+m，所以$a\ge b$
(f) 把(f)放在(e)前面，因为(e)要用到(f)，不知道是不是理解有错
=>
a < b，所以a+m=b且a不等于b，如果m=0，则a=b，矛盾，所以m为正的
<=
b=a+d =>$b\ge a$, 如果a=b则d=0，与d为正的矛盾，所以a < b
(e) =>
a < b，所以a+m=b，其中m为正的，所以存在自然数n使得n++=m，所以a+n++=b，而a+n++=a++ +n =(a+n)++=b，所以$a++\le b$
<=
$a++\le b$ 则a++ +m=b，所以a+m++=b，所以a+n=b
其中n=m++为正的，根据(f)得出a

2.3 乘法