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POJ 1845 Sumdiv(因子分解+快速幂+二分求和)

时间:2016-05-07 00:44:54      阅读:197      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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题意:给你A,B,让求A^B所有的因子和模上9901

思路:A可以拆成素因子的乘积: A = p1^x1 * p2^x2 *...* pn^xn

那么A^B = p1^(B*x1) * p2^(B*x2) *...* pn^(B*xn)

那么A^B所有的素因子和就是

(p1^0 + p1^1 + p1^2 + ... + p1^(B*x1) ) * (p2^0 + p2^1 + ... + p2^(B*x2) ) * ... * (pn^0 + pn^1 + ... + pn^(B*xn))

可以看出每一个括号内都是等比数列,但是不要用等比数列公式,因为有除法(刚开始我用除法,然后求了模的逆元,wa到爽死),因为不一定满足乘法逆元所需要的条件,除数与模数可能不互素(除数可能是模数的多少倍)。既然不能用公式,那么就要借助于二分了。比如如下式子求和:A1+A2+A3+A= A1+A2+A2(A1+A2)。通过这个式子发现,只要求出来A2就行了,然后只要计算一次A1+A2,就可以省掉一半的计算量。那么同理A1+A2也可以继续往下分。

现在推广到一般式。A1+A2+...+An

1) n为偶数: A1+A2+...+An = A1+A2+ ...+A(n/2)+ A(n/2)(A1+A2+...+A(n/2))

2) n为奇数: A1+A2+...+An = A1+A2+ ...+A(n/2)+ A(n/2)(A1+A2+...+A(n/2)) + An

推出来这些就可以递归求解了。

:找素因子时,打个素数表,只需要打到sqrt(n)就行了,因为只可能在sqrt(n)里面,如果有比sqrt(n)大的两个素因子,乘积自然就大于n了,所以只需要sqrt(n)就可以了。因为就算有一个大素数和一个小素数相乘得来,那么在约掉小素数的时候,只剩大素数了,这会就直接跑到循坏外判断了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 10010;
const ll mod = 9901LL;
ll A, B;
struct Factor {
    ll fac;
    ll cnt;
}factor[maxn];
int tot;
bool prime[maxn + 100];
int pr[maxn];//素数表
int pr_cnt;
void init_prime()
{
    memset(prime, true, sizeof(prime));
    prime[0] = prime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= maxn; i++)
        if (prime[i])
            for (int j = i + i; j < maxn; j += i)
                prime[j] = false;
    pr_cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= maxn; i++)
        if (prime[i])
            pr[pr_cnt++] = i;
}
void init()//找到所有的素因子
{
    tot = 0;
    memset(factor, 0, sizeof(factor));
    for (int i = 0; i < pr_cnt && pr[i] <= A; i++)
    {
        if (A % pr[i] == 0)
        {
            factor[tot].fac = pr[i];
            while (A % pr[i] == 0)
            {
                factor[tot].cnt++;
                A /= pr[i];
            }
            factor[tot].cnt *= B;
            tot++;
        }
    }
    if (A > 1)
    {
        factor[tot].fac = A;
        factor[tot++].cnt = B;
    }
}
ll quickpow(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1LL;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}
ll binary_pow(ll a, ll b, ll mod)//计算等比数列的和
{
    if (b == 0) return 1LL;
    if (b == 1) return a;
    ll ans = 0;
    if (b & 1)
    {
        ans = quickpow(a, b, mod);
        ans = (ans + (quickpow(a, b / 2, mod) + 1LL) % mod * binary_pow(a, b / 2, mod)) % mod;
    }
    else
        ans = (quickpow(a, b  / 2, mod) + 1LL) % mod * binary_pow(a, b / 2, mod) % mod;
    return ans;
}
void solve()
{
    if (B == 0) 
    {
        puts("1");
        return;
    }
    if (A == 0)
    {
        puts("0");
        return;
    }
    init();
    ll ans = 1LL;
    for (int i = 0; i < tot; i++)
    {
        ans = ans * (binary_pow(factor[i].fac, factor[i].cnt, mod) + 1LL) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
}
int main()
{
    init_prime();
    while (cin >> A >> B)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

 

POJ 1845 Sumdiv(因子分解+快速幂+二分求和)

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原文地址:http://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/5467507.html

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