活动选择问题（3）-区间着色问题

此问题为算法导论的课后题，为了方便以后查看，查阅了有关计算复杂性和图论的一些相关内容，花了一些时间记录一下。

1.问题描述：假定有一组活动，我们需要将它们安排到一些教室，任意活动都可以在任意教室进行，我们希望使用最少的教室完成所有活动。设计一个高效的贪心算法求每一个活动应该在哪个教室进行。
（这个问题成为区间着色问题）。我们可以构造一个区间图，顶点表示给定的活动，边连接不兼容的活动。要求使用最少的颜色对顶点进行着色。使得所有相邻顶点颜色均不相同–这与使用最少的教室完成所有活动是对应的。

在分析问题之前，需要学习一点东西。
在图论中，色数问题必须要接触的问题，首先有关色数的问题，我在 http://blog.csdn.net/niujiabinbin/article/details/51298147中进行了解释，这里再说明一下色数就是为图中的所有顶点进行着色，且保证每条边上的两个顶点颜色不能相同，所需最小数量的颜色数为该图的色数，这个概念很好理解，与色数这个概念密不可分的还有团数与独立集。

对于上述问题的描述，我们暂且不关心活动的时间，只关心活动之间是否有重叠的部分，假设现在有5个活动，分别为活动A、活动B、活动C、活动D、活动E，且活动AB冲突，活动BC冲突，活动CD冲突，活动DE冲突，可以用如下图表示假设的5个活动：

上面的图形我们称之为$C_5$，很容易看出，该图的色数为3，容易总结出对于任意$C_p$,若p为偶数，色数为2，p为奇数色数为3。

再举一个例子，还是ABCDE五个活动，但是任意两个活动之间都是有冲突的，此时的图如下：

上面的图称之为$K_5$，是一个完全图，图中任意两个顶点都有边，也很容易的看出，每个顶点的颜色必须都不相同，所以色数为5，对于任意完全图，色数等于它的顶点数。

还有一种图我们称之为零图，零图就是没有变的图，如下图所示：

上面的图只有5个顶点，由于没有边，所以色数为1。

那么图的色数怎么求呢？是否存在一个很好的求解方法，在解释这个问题之前，有一种色数为2的问题是可以判断的，首先给出一个定理：
一个图是2可着色的当且仅当它是一个二部图（或者不存在长度为奇数的回路）。

通过广搜的方法，指定相邻顶点使用不同的颜色后，如果搜索过程中出现相邻顶点颜色相同的情况，那么就不是二部图。

很遗憾的是，对于任意的$k \ge 3$，不存在确定k可着色的多项式算法，更不用说寻找一个最优着色，在计算理论的领域中，此问题已经被证实为是NP完全问题，也就是说不存在一个多项式时间来解决此问题，那么一般的解决方法是利用回溯法来构造解空间树，其时间复杂度是指数级的，如果存在大量的边，我们可以用一种近似算法来求解此问题，使得到的解尽量好，并且使时间复杂为多项式时间。

思想是一种贪心的思想，只要提及贪心，就代表每一步考虑的是局部，方法如下：
设G是图，它的顶点按某一顺序记为$x_1,x_2,x_3,......x_n$。
（1）对顶点$x_1$着色颜色1.
（2）对每一个i=2,3,…..n,另p是与$x_i$临接的顶点$x_1,x_2,.....x_{i_{-1}}$中任何顶点都不被着色成p的最小颜色，并对$x_i$指定颜色p。

上面的描述是比较好理解的，第一步是使用某种方法得到一个顶点序列，顶点序列的并没有顺序要求（其实在某些顺序下可以得到最优解，下面会说到），第二步对第一个顶点着色成最小颜色1，之后判断第二个顶点，如果第一个顶点与第二个顶点没有边，仍然使用最小颜色1，如果第二个顶点与第一个顶点有边，就使用颜色2，之后再判断第三个顶点（道理是相同的）。

最后得到的答案是有一个上界的，假设顶点$x_i$具有最大度为$\Delta$，那么该图的色数小于等于$\Delta+1$。
简单的可以想到，当正在为顶点$x_i$着色时，最坏的情况是其临接点都是使用不同的颜色，那么$x_i$本身就必须另外额外使用一种颜色了，所以此时颜色使用数量为$\Delta+1$。

加入我们凑巧，起始的顶点序列如果是按色划分后的顶点为序列的，即$V_1,V_2,V\chi(G)$排序的，即先排$V_1$中的顶点（色划分请看http://blog.csdn.net/niujiabinbin/article/details/51298147），再排序$V_2$中的顶点，那么$V_1$中的所有点颜色都为1，$V_2$中的所有颜色都为2，到最后所需的颜色数正好等于色数。

到这里还没有对这个近似算法做误差分析，还在学习中，不免会出现错误。