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逆康托展开

时间:2016-05-11 07:24:24      阅读:198      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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康托展开原公式:


把一个整数X展开成如下形式:
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!
其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始),并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)
 

知道康托展开展开以后,我们可以很容易的得到一种新的求1-n全排列的方法,只需要求出1-n全排列中的第一个,第二个...第n!个排列,即求出上式中的每一项系数a[n]。


依旧,举个例子。


求1,2,3,4的全排列中,第21大的序列,从0开始计数,即为第20大的序列,将20分解:

20 = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! 

等式左右两边同时除以3!,容易知道,a4的可能取值有4种,不过是从0开始,实际值为3,a3的取值是在a4确定的基础之上,所以只有3中,从0开始,那么实际值为2,同理可以知道,a3*2! + a2*1! + a1*0! 中每一项小于3!。利用辗转相除法,将左式除以n!,将余数除以(n-1)!,见下图:

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知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道第一位数是子数组[1,2,3,4]中第3大的元素 "4"(从0开始),第二位数是子数组 [1,2,3] 中第1大的元素"2",第三位数是子数组 [1,3] 中第0大的元素"1",第四位数是数组 [3] 中第0大的元素"3",所以第21大的排列是4213。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
long int factory[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶乘表
void unContor(char res[], int x, int n)    //第x大数字序列(从0开始),1-n排列 
{
    int i, j;
    int cnt;
    bool visited[100];                     //把已使用的数字标记为1
    for(i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        int consult = x/factory[i];        //每一项的系数
        x -= consult*factory[i];           //余数
        for(j = 0, cnt = 0; cnt <= consult; j++)
        {
            if(!visited[j+1])              //未被使用的数字中,第consult大的数字
                cnt++;
        }
        visited[j] = true;                 //标记第consult大的已经被使用
        res[n-1-i] = j+'0';
    }
}
int main()
{
    char res[100];
    unContor(res, 20, 4);
    cout << res << endl;
    return 0;
}




逆康托展开

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原文地址:http://blog.csdn.net/axiqia/article/details/51367682

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