poj 1061 青蛙的约会（扩展欧几里德）

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根据题意，两个青蛙跳到同一个点上才算是遇到了，所以有 (x+m*t) - (y+n*t) = p * l; (t是跳的次数，l是a青蛙跳的圈数跟b青蛙的圈数之差即纬度线总长。整个就是路程差等于纬度线周长的整数倍)

转化一下： (n-m) * t + ll* p = x – y;
令 a = n-m, b = l, c = gcd(a, b), d = x-y;
有 a * t + b * p = d; 
要求的是t的最小整数解。

此时方程已经符合扩展欧几里德的形式:a*x+b*y=gcd(a,b)

该算法同样可用于求解a*x+b*y=c的形式的方程。方法是先求解a*x+b*y=gcd(a,b)。然后两端同时除以gcd(a,b)再乘以c即可整理出原方程的解。即a*(x*c/g)+b*(y*c/g)=c。该方程有解的条件是c能被gcd(a,b)整除。

用扩展的欧几里德求出其中一组解t0 ,p0, 并令c = gcd(a, b);
有 a * t0 + b * p0 = c; (2)
因为c = gcd(a, b), 所以 a * t / c是整数，b * t / c 也是整数，所以 d / c 也需要是整数，否则无解。
(2)式两边都乘(d / c) 得 a * t0 *(d / c) + b * p0 * (d / c) = d;
所以t0 * (d / c)是最小的解，但有可能是负数。
因为a * ( t0 *(d / c) + b*n) + b * (p0 * (d / c) – a*n) = d; (n是自然数)
所以解为 (t0 * (d / c) % b + b) % b;

还有一个问题，如何用扩展的欧几里德求出t0跟p0呢？
对于不完全为0的非负整数a, b. gcd(a, b)表示a, b 的最大公约数。那么存在整数x， y使得 gcd(a, b) = a * x + b * y;
不妨设a > b
① ，当b = 0 时，gcd(a, b) = a , 此时 x = 1, y = 0;
② ，当 a * b <> 0 时，
设 a * x + b * y = gcd(a, b); (1)
b * x0 + (a % b) * y0 = gcd( b, a % b); (2)
由朴素的欧几里德公式; gcd(a, b) = gcd (b, a % b);
得(1)，(2) a * x + b * y = b * x0 + (a % b) * y0
= b * x0 + (a – a / b * b) * y0
= a * y0 + ( x0 – a / b * y0 ) * b
所以 x = y0, y = x0 – a / b * y0;
由此可以得出扩展欧几里德的递归程序：

void extend_Euclid(int a, int b)
{
    if( b == 0 )
    {
        x = 1;
        y = 0;
        q = a;
    }
    else
    {
        extend_Euclid(b, a % b);
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp - a / b * y;
    }
}

#include <iostream>
using namespace std;
long long t, p, c;
void extend_euild(int a, int b)
{
    if(b == 0)
    {
        t = 1;
        p = 0;
        c = a;
    }
    else
    {
        extend_euild(b, a%b);
        int temp = t;
        t = p;
        p = temp - a/b*p;
    }
}

int main()
{
    int i, j, ok = 0, d, a, b;
    long long x, y, m, n, l;

    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    cin >> x >> y >> m >> n >> l;

    if(n == m)
        ok = 1;
    else
    {
        a = n-m;
        d = x-y;
        b = l;
        extend_euild(a, b);
        if(d % c !=0)
            ok = 1;
    }
    if(ok)
        cout << "Impossible" << endl;
    else
    {
        d = d / c;
        long long v = d * t;
        cout << (v%b+b)%b << endl;
    }


    return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/yangkunpengd/article/details/51371982