【从零学习经典算法系列】分治策略实例——快速排序（QuickSort）

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在前面的博文（http://blog.csdn.net/jasonding1354/article/details/37736555）中介绍了作为分治策略的经典实例，即归并排序，并给出了递归形式和循环形式的c代码实例。但是归并排序有两个特点，一是在归并（即分治策略中的合并步骤）上花费的功夫较多，二是排序过程中需要使用额外的存储空间（异地排序算法<out of place sort>）。

为了节省存储空间，出现了快速排序算法（原地排序in-place sort）。快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序n个项目要O(nlogn)次比较。在最坏状况下则需要O(n2)次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他O(nlogn)算法更快，因为它的内部循环(inner loop)可以在大部分的架构上很有效率地被实现出来。

此种排序的思路是：如果在分开的时候，不是从中间位置上分界，二是按照元素的大小分开为两个一大一小的子序列（一个子序列的所有元素大于另一个子序列里的所有元素），这样的话，因为两个子序列之间的相对次序已经正确，所有在合并的时候就不需要花费任何时间。

虽然快速排序在归并上没有什么成本，但是由于分解是按照元素大小进行，因此在分解步骤破费工夫，即先付出代价；在合并的时候不用费力，即后享受劳动成果。

1、快速排序过程

（1）选择杠杆点（分界点、基准）。在待排序的序列里面按照某种方式选取一个元素，即杠杆点。

（2）分解。以杠杆点为界，将序列分为两个子序列A[p..q-1]、A[q+1..r]，其中子序列A[p..q-1]里的所有元素小于等于杠杆点，另一个子序列A[q+1,r]里的所有元素大于杠杆点。在这个分解退出之后，该基准就处于数列的中间位置。

（3）治之。递归对两个子序列进行快速排序,对子序列A[p..q-1]、A[q+1..r]排序。

（4）合并。将排好序的两个子序列合并为大序列。因为两个子序列是原地排序的，将它们合并不需要操作，整个序列A[p..r]已排序。

图1 快速排序流程举例

图2 快速排序算法演示

2、伪代码及举例

快速排序算法最关键的是分解（Partition）过程，快速排序的时间成本取决于分解这一步。

<span style="font-size:14px;">PARTITION(A,m,n)
{
    x = A[m];
    i = m;
    for(j=m+1;j<=n;j++)
    {
        if(A[j] <= x)
        {
            i = i+1;
            temp = A[i];
            A[i] = A[j];
            A[j] = temp;
        }
    }
    temp = A[i];
    A[i] = A[m];
    A[m] = temp;
    return i;
}</span>

快速排序的分解过程演示如下：

图3 快速排序分解步骤演示

正如分解步骤的伪代码所描述的，选择数组第一个元素“6”为杠杆点，在第（1）步中移动下标索引j，当找到小于杠杆点“6”的值时，移动下标索引i来交换数组元素（如第（2）步所示），依次类推，第（3）、（4）步，通过j不断寻找小于杠杆点的元素，并交换小于杠杆点的元素到数组的前半部分。最终，在第（5）步，将杠杆点置于两个子数组之间。

其中，红色部分是杠杆点，黄色部分数组元素划分到第一部分，蓝色部分数组元素划分到第二部分，灰色部分数组元素师尚未划分的部分。

<span style="font-size:14px;">QUICKSORT(A,p,r)
{
    if(p<r)
    {
        q = PARTITION(A,p,r);
        QUICKSORT(A,p,q-1);
        QUICKSORT(A,q+1,r);
    }
}</span>

3、快速排序C程序实例

#include <stdio.h>
#define CutOff 3
#define QUICK_ONLY
typedef int ElemType;

void Swap(ElemType *i, ElemType *j)
{
	ElemType tmp;
	tmp = *i;
	*i = *j;
	*j = tmp;
}

void PrintElement(ElemType A[], int N, char *prompt)
{
	printf("%s ：\n",prompt);
	for(int i=1;i <= N;i++){
		printf("%5d",A[i-1]);
		if(i % 10 == 0)
			printf("\n");
	}
	printf("\n");
}

ElemType Median3(ElemType A[], int Left, int Right)
{
	int Center;
	Center = (Left + Right)/2;

	if(A[Left] > A[Center])
		Swap(&A[Left], &A[Center]);
	if(A[Left] > A[Right])
		Swap(&A[Left], &A[Right]);
	if(A[Center] > A[Right])
		Swap(&A[Center], &A[Right]);

	Swap(&A[Center], &A[Right-1]);

	return A[Right-1];
}

void InsertionSort(ElemType A[], int N)
{
	int i,j;
	ElemType tmp;
	for(i=1;i<N;i++){
		tmp = A[i];
		for(j=i;j>0 && A[j-1]>tmp;j--){
			A[j] = A[j-1];
		}
		A[j] = tmp;
	}
}

void QSort(ElemType A[], int Left, int Right)
{
	int i,j;
	ElemType pivot;

#ifdef QUICK_ONLY
	if(Left < Right){
#else
	if(Left+CutOff <= Right){
#endif
		i = Left;
		j = Right - 1;
		pivot = Median3(A, Left, Right);
		for(;;){	
			while(A[++i] < pivot){}
			while(A[--j] > pivot){}
			if(i < j)
				Swap(&A[i], &A[j]);
			else
				break;
		}//for(;;)

		Swap(&A[i], &A[Right-1]);
		QSort(A, Left, i-1);
		QSort(A, i+1, Right);
	}
#ifndef	QUICK_ONLY
	else
		InsertionSort(A+Left, Right-Left+1);
#endif
}

void QuickSort(ElemType A[], int Size)
{
	QSort(A, 0, Size-1);
}

int main()
{
	ElemType test_array[] = {20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1};
	int num_size = sizeof(test_array)/sizeof(ElemType);
	PrintElement(test_array,num_size,"The original array:");
	QuickSort(test_array, num_size);
	PrintElement(test_array,num_size,"The sorted array:");
	return 0;
}

图4 快速排序程序运行结果

说明：

（1）由于选择杠杆点对排序的花费时间有很大的影响，如果输入时反序的话，这样选择第一个元素作为杠杆点（pivot），则所有元素被划为一边的子序列，这是很差的结果。所以该程序使用的方法是三数中值分割法（函数Median3），即选取左端、右端和中心位置的三个元素的中值作为杠杆点，这样能有效减少快速排序大约5%的运行时间。

（2）小数组排序的问题。对于很小的数组，快速排序不如插入排序好，所以在QSort函数中，可以选择当Left+CutOff <= Right时，对小数组进行插入排序。

4、快速排序的时间复杂度分析

快速排序的时间复杂度体现在分解上，因此分解的成本将决定快速排序的成本。对于一个有n个元素的序列来说，分解的次数最多只能是n-1，即每次分解都形成一个空子序列和一个包含n-1个元素的子序列；最少分解次数是logn，即每次分解出两个长度相当的子序列。

（1）最坏情况分析

快速排序的最坏情况划分行为发生在划分过程中产生的分别是包含n-1个元素的子序列和0个元素的子序列，故运行时间的递归表达式可以表示为：

T(n) = T(n-1)+T(0)+Θ(n) = T(n-1)+Θ(n),故其时间复杂度为T(n)=Θ(n²)。

（2）最好情况分析

最平衡的划分，得到两个子序列的大小相当，这种情况下，其运行时间的递归式为：

T(n) ≤ 2T(n/2)+Θ(n)，该递归式的解为T(n) = O(nlgn)。

（3）平均情况分析

快速排序的平均情况运行时间与其最佳情况运行时间相近。

例如，假设划分过程总是产生9:1的划分，此时快速排序的运行时间递归式为：T(n) = T(9n/10)+T(n/10)+Θ(n)，这样的结果是T(n)=Θ(nlogn)。

图5 快速排序平均情况递归树

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参考资料：

《算法之道（第2版）》，邹恒明著，机械工业出版社

《算法导论（原书第2版）》，机械工业出版社

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