斜率优化dp小结

单调队列优化

在写斜率优化之前，我们来回顾一下单调队列优化的dp
1. 对于如下形式的dp方程

$$dp[i] = min\{dp[j] + f(j)\} (0 < j < i)$$
我们直接用一个变量维护(0, i)中dp[j] + f(j)的最小值即可

2.对于如下形式的dp方程

$$dp[i] = min\{dp[j] + f(j)\} (i - m < j < i)$$
我们可以用一个单调队列维护一个(i - m, j)中dp[j] + f(j)的最小值，然后做到O(1)转移。

斜率优化

基本形式

但是对于形如

$$dp[i] = min\{dp[j] + f(i, j)\}$$
的方程，无法做到O(1)计算$dp[j] + f(i, j)$的最小值，这时就需要斜率优化这个技巧来解决这个问题了。
令k < j < i，当我们更新dp[i]时，如果有dp[j] + f(i, j) 比dp[k] + f(i, k)更优，则有dp[j] + f(i, j) - (dp[k] + f(i, k) < 0，对于这个不等式如果能够化解成如下形式
$$\frac {Y(j) - Y(k)} { X(j) - X(k)} < f(i)$$
我们就能通过斜率优化这个dp了。
让我们来举一个例子: hdu3507 dp方程为
$$dp[i] = min\{dp[j] + M + (sum[i] - sum[j])^2 (0 < j < i)\}$$
令k < j < i，当有
$$dp[j] + M + (sum[i] - sum[j])^2 - (dp[k] + M + (sum[i] - sum[k])^2) < 0$$
从j转移到i, 比从k转移到i更优，变换此不等式可得:
$$\frac{(dp[j]+ sum[j]^2) - (dp[k] + sum[k]^2)}{sum[j] - sum[k]} < 2sum[i]$$
令$Y(i) = dp[i] + sum[i]^2$, $X(i) = sum[i]$, $f(i) = 2sum[i]$则将此不等式化解为上述形式。

优化方法:

可以发现，若满足$\frac {Y(j) - Y(k)} { X(j) - X(j)} < f(i)$则j转移到i，比k转移到i更优，如果我们把(X(j), Y(j)), (X(k), Y(k))当成平面上的两个点Pj, Pk，这个不等式的含义即为若$\overrightarrow{PjPk}$的斜率＜f(i)则，从j转移更优。
令grad(i, j)表示$\overrightarrow{PiPj}$的斜率，现在我们假设grad(i,j) < grad(j, k)，若grad(i, j) < f(I),则i比j更优，若grad(i, j) > f(I), 则grad(j, k) > f(I),那么从k转移比从j转移更优，当grad(i, j) < grad(j, k)的时候，无论如何j转移到i都不会是最优。而这种情况恰好对应下图

所以这种情况时，我们可以直接把j点删除，最后能够转移的点集只会存在这种图形，
所以最后我们维护一个上凸集即可。
但是此时我们还是没有解决最终问题，如何才能找到转移到i点的最优的点呢。可以发现最后的点集一定是一个凸集，也就是斜率单调！！这样对于k < j, grad(j,k) < f(i),时更优，从图形特点我们可以发现如果j比k优，那么j点比所有比k小的点都优，所以对于每一个f(i),我们维护一个所有比i点小的凸集，二分查找斜率比f(i)小的编号最大的点，就是最优的转移点。如果f(i)也满足单调性，比如这道题，我们还可以直接维护一个单调队列就能解决这个问题。

分治做法

对于f(i)单调的这种情况，除了使用单调队列优化的斜率优化做，我们还有另外一种分治的做法，但是复杂度会变成O(nlogn) 比O(n)差。
当f(i)单调的时候，我们可以发现若a > b,则f(a) > f(b),设转移到a的最优点是c，转移到b的最优点是d，一定有c > d。也就是转移到a的最优点一定大于等于转移到b的最优点。考虑这样的分治

void dfs(int l, int r, int dl, int dr) {
    //[l,r]表示现在更新[l,r]区间dp[i]的最优值
    //用j -> f(i),表示j是更新f(i)最优值的最优点
    //那么[dl,dr]表示更新dp([l,r])的点，一定在[dl,dr]范围内
    int mid = (l + r) >> 1; 
    int dm = dl;
    int g = inf;
    for (int i = dl; i <= dr; i++) {
        if(g < dp[i] + f(i, mid)) {
            g = dp[i] + f(i, mid);//记录更新dp[mid]的最优
            dm = i;//记录更新dp[mid]的最优点
        }
    }
    dp[mid] = g; //更新dp[mid]的值
    //因为上文叙述的单调性，
    //更新[l,mid-1]的最优点，一定在[dl,dm]范围内
    if(l < mid) dfs(l, mid - 1, dl, dm);
    //更新[mid+1,r]的最优点，一定在[dm,dr]范围内
    if(mid < r) dfs(mid + 1, r, dm, dr);
}

可以发现这个分治比起斜率优化，不仅写起来方便很多，并且适用的范围也更广。这个做法不局限于斜率单调，可以发现只要满足c是更新f(a)的最优点，d是更新f(b)的最优点，若a > b 一定有 c > d，则可以有这个分治做。

PS:

这个做法是我在codeforces 674E,跟Claris神犇的代码学会的solution,在此特地感谢Claris.这个做法着实是非常的劲啊！多一个log，但是换来编码复杂度和通用性更广的解法。