从线段树开始

先来看下这道线段树的题：CWOJ1197 线段树之查询第k大带修改

题目描述

有N个箱子，分别放在[1, N]区间的整点上，一个整点上可以有多个箱子。

比如，N = 7 , X = {1, 2, 2, 5, 6, 7, 7}，表示1，5，6三个点上分别有一个箱子，2，7两个点上分别有两个箱子

每组数据，首先给出N和X。接下来有三种操作，查询和修改

1. （Q，k）：查询[1, N]区间上第k个箱子所在的位置。比如X = {1, 2, 2, 5, 6, 7, 7}，（Q，3）= 2，（Q，6） = 7

2. （D，k）：删除[1, N]区间上第k个箱子。比如X = {1, 2, 2, 5, 6, 7, 7}，执行（D，3）后，X = {1, 2, 5, 6, 7, 7}

3. （A，p）：在[1, N]区间上整点p位置放上一个箱子，比如X = {1, 2, 2, 5, 6, 7, 7}，执行（A，6）后，X = {1, 2, 2, 5, 6, 6, 7, 7}

给出N次操作，请在每次第1种操作后输出答案

输入格式

第一行输入一个整数N (1 $\leq$ N $\leq$ $10^5$)

接下来一行输入N个整 数，$X_1$，$X_2$，……，$X_N$（保证1 $\leq$ $X_i$ $\leq$ N）

接下来N行输入操作，分别以（Q，k）或（D，k）或（A，p）形式出现，其中（X，Y），X为大写英文字母，Y为整数，保证输入合法

输出格式

在每次第1种操作后输出答案

样例输入

7
1 2 2 5 6 7 7
Q 3
Q 7
D 3
Q 6
A 6
A 3
Q 6

样例输出

2
7
7
6

怎么做呢？

关键在于Query函数

int Query(int id, int l, int r, int k);

这个函数，返回[1, n]区间中第k个数在哪个位置。我们用线段树的方法，划分每个区间，tree[1].sum表示[1, n]区间有多少个人，tree[2].sum表示[1, n/2]区间有多少个人，tree[3].sum表示[n/2 + 1, n]区间有多少个人…

起初，我们查询Query(1, 1, n, k); 接下来，进行如下判断：if (tree[2].sum >= k) Query(1, 1, n / 2, k); else Query(1, n / 2 + 1, n, k - tree[2].sum);

明白了吗？

对于每个区间，只要它有子区间，就这样子判断。即，如果它左孩子区间的sum不小于当前的k，则往左孩子查，否则往右孩子查，但是k要改为k减去左孩子区间的sum…

当查到一个区间没有子区间时，即其 l 等于 r 时，这个 l 就是要查询的答案，就是[1, n]中第k个数的位置。

okay！只要掌握了这个关键部分，其他操作都可以完成了

查看本题代码点这里

主席树

有了上题的基础，主席树就很好讲了。主席树，可以处理一个一般的问题，即区间查询第k大。

比如这道题：hdu 3727题目链接

题意是有4种操作

1、在项链后面插入一个珍珠，保证每一个珍珠都不一样
2、查询第 l 到 第 r 个珍珠之间第k大的珍珠的大小
3、假设把所有珍珠按照大小排序，查询size为x的珍珠的排名
4、查询所有珍珠里第k大的珍珠的大小

题目只需要输出2，3，4询问的所有答案即可

第3个询问很简单，不谈。第4个询问本质上和上一道CWOJ的题是一样的。而第2个操作需要用到主席树的思想。

主席树的思想是可持久化线段树，先不要在意这个名字，来看下这个思想的具体内容。

假设我们现在建立n棵线段树T(x)（先不要管空间和时间问题），T(i)记录的是[1, i]区间内的data。比如，我们调用T(10).Query(1, 1, 10, k)，就是查询[1, 10]区间当中，排名为k的数所在位置。同样，调用T(4).Query(1, 1, 4, k)就是查询[1, 4]区间但中，排名为k的数所在位置。

主席树的思想满足一个加减性。

还记得在上一道题中，是如何查询第k大的吗？

我们是用到，判断左孩子区间的sum和k的大小，从而判断是往左还是往右孩子区间走，从而找到答案的… 对吧？

这个sum值是数值，是满足加减性的。

那么，现在我们要查询[5, 10]区间中第k大的数，我们只需将sum替换为[1, 10]的sum减去[1, 4]的sum，其他方法和之前一样，就可以查询答案了… 对吧？

也就是说，要查询Query(1, 5, 10, k)，只需要用到T[5..10] = T(10) - T(4)的方法，在T[5..10]中查询即可。

假设不考虑空间和时间，每棵线段树都可以建立出来，那么用到这个方法，就可以找到答案。但空间和时间是必须要考虑的，这也是主席树的重点，可以用一种方法，来节省空间和时间，使得空间和时间都是有O(NlogN)级别。

主席树的具体实现

接下来的内容，边上课边完成把。。