动态规划01-钢条切割问题

动态规划（dynamic programming）与分治算法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。区别在于，分治算法是将原问题划分为互不相交的子问题，递归求解子问题，再把它们的解组合起来，求出原问题的解；动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子问题（子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子子问题），在这种情况下，分治算法会反复求解那些公共的子问题，而动态规划算法对每个子子问题只求解一次，将其保存在一个表格中，从而无需每次都求解一个子问题都重新计算，查表即可。
动态规划通常用来求解最优化问题，通常按以下4个步骤来设计一个动态规划算法：
（1）刻画一个最优解的结构特征
（2）递归地定义最优解的值
（3）计算最优解的值，通常采用自低向上的方法
（4）利用计算出的信息构造一个最优解
我们应用动态规划的第一个例子是钢条切割的问题：

钢条切割问题是这样的：
给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表$p_i$，求钢条的切割方案，使得销售收益$r_n$最大。
问题定义为:

直接的求解方法为：

CUT-ROD(p,n)
  if n==0
    return 0
  q=INT_MIN
  for i=1 to n
    q=max(q,p[i]+CUT-ROD(p,n-i))
  return q

这种直接的方法的问题在于对相同的子问题进行了多次求解，运行时间为$2^{n-1}$
动态规划方法会仔细安排求解顺序，对每个子问题只求解一次，并将其结果保存下来，如果随后再次需要此子问题的解，只需查找保存的结果，而不必重复计算。一般，我们采用自底向上(bottom-up)的方法

vector<int> steelCut(vector<int> &p,int n){
    vector<int> ret(n+1,0);
    for(int j=1;j<=n;j++){
        int q=INT_MIN;
        for(int i=1;i<=j;i++)
            q=std::max(q,p[i]+ret[j-i]);
        ret[j]=q;
    }
    return ret;
}

动态规划最最重要的两个问题是状态和状态转移方程！！状态ret[i]表示长度为i的钢条的最大效益！
状态转移方程就是

q=std::max(q,p[i]+ret[j-i])

其中ret[j-i]中保存的就是比j规模小的问题的解，这样可以避免重复求解！

总结：
动态规划问题的两个性质是
1.为了求解规模为n的原问题，我们先求解形式完全一样，但规模更小的子问题，我们通过组合两个子问题的最优解，并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解，我们称此满足最优子结构性质
2.子问题存在重叠，可通过自底而上求解子问题并保存结果来避免重复计算

动态规划对应最重要的两个关键点是:
1.状态方程
2.状态转移方程