极简微积分发展史——《数学是什么》读书笔记（2）

乐乐老师/文

人类社会进步的车轮滚滚向前，在前进的过程中，思想变革与技术革新总是同步进行。历史上最恢宏的思想变革莫过于文艺复兴。

11至14世纪，欧洲经济复苏并发展，城市兴起，中南欧的市民和部分知识分子想用一种新的文化体系代替当时保守的基督教，便尊崇古希腊与古罗马文化，文艺复兴开始。经过几个世纪的演变，文艺复兴在16世纪达到顶峰。同时，生产力飞速发展，资本主义开始萌芽，人类需求向自然科学提出了众多课题，迫切需要力学、天文学等基础学科给予解答。归纳起来，有两个基本问题：

1. 已知路程求速度；

2. 已知速度求路程。

笛卡尔

此时，一个高歌“我思故我在”的神学者将几何与代数相结合，创立了“解析几何学”，他就是笛卡尔（R. Descartes）。这是一个极端了不起的工作，这让他成为了人们常说的“解析几何之父”。但是他还有另一个更为响亮的名头——“近代科学的始祖”（由于在哲学方面的杰出贡献，黑格尔称他是“现代哲学之父”）。在笛卡尔通透的直角坐标系中，描述运动的函数关系可以和几何中曲线和曲面问题的研究完成惊人的统一。和力学的两个问题对应，还有两个基本几何问题：

1. 已知曲线求切线；

2. 已知曲线求面积。

我们现在当然知道，所谓的力学和几何的两个基本问题，其实对应了微积分中的微分与积分，但是在它们出现之前，还有这许多的故事。

• 1615年，开普勒在其《酒桶的立体几何学》一书中，利用阿基米德的“穷竭法”求出387种旋转体体积；
  
  
• 1635年，意大利数学家卡瓦列利（B. Cavalieri）在其《不可分连续量的几何学》一书中，引入了所谓的“不可分量”，提出卡瓦列利原理，它是计算面积和体积的有力工具；
  
  
• 1656年，英国人沃里斯（J. Wallis）把卡瓦列利的方法系统化，使“不可分量”更接近于定积分的计算，并在其《无穷算术》中提出了极限的思想；
  
  
• 1638年，最著名的业余数学家费马在其《求最大值和最小值的方法》一书中，给出了求曲线的切线和函数极值的方法；
  
  
• 牛顿在剑桥大学的老师巴罗（I. Barrow）不仅给出了求曲线切线的方法，还揭示了求曲线切线和求曲线所围成的面积这两个问题的互逆性。

莱布尼茨和牛顿

高潮来了，17世纪还出现了两个大牛人，牛顿和莱布尼茨。

牛顿大家都很熟悉，是历史上最伟大的数学家，没有之一，也是伟大的物理学家，另外还是一个神学家。此外，他还是英国的皇家学会会长和皇家铸币厂厂长，浑身散发着贵族的光芒。相反，莱布尼茨是一个典型的屌丝式牛人，本来姓莱布尼茨（Leibnitz），但是他经常自称男爵，便把名字改为莱布尼兹（Leibniz），显得有贵族气质（身为中国人，我承认我看不出来），可惜后来无人知道他到底是否拥有此头衔。大家知道的事实是，作为律师的他经常往返各大城镇，很多数学公式都是在颠簸的马车上推导出来的。

不管是贵族还是屌丝，牛顿和莱布尼茨两人独立地创立了微积分。其中牛顿是从力学的角度出发，而莱布尼茨是从几何学的角度出发。牛顿于1665年创造了流数法，并据此从行星运动三大定律推出了万有引力定律；莱布尼茨则从变量增量引入微分，突出了切线的概念。牛顿的“流术”其实就是导数，而莱布尼茨玩的是微分，它们的本质是一样一样的。

微积分横空出世，立刻显示出强大的威力，解决了很多的实际问题。但是微积分当时并没有确切的数学定义，而且一些基本公式的推导有一些明显矛盾的地方。

例如，设路程与时间的函数为$s=t^2$，求$t_0$时刻的瞬时速度，即求其导数，有如下推导：

$\Delta s=(t_0+\Delta t)^2-t_0^2$

$\ \ \ \ \ =t_0^2+2t_0\Delta t+(\Delta t)^2-t_0^2$

$\ \ \ \ \ =2t_0\Delta t+(\Delta t)^2。$

所以，这段时间的平均速度为

$\overline v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=2t_0 +\Delta t。$

取$\Delta t=0$得$t_0$时刻的瞬时速度为$2t_0$。

在这一过程中，开始的时候$\Delta t$要作分母，不能为零，但是后面又令它为零，前后矛盾。

上述这些运算看起来有很大的随意性。马克思挖苦说：“这种新发现的计算法，就是通过数学上肯定是不正确的途径得出了正确的结果”。很容易就可以看出，导致矛盾的原因在于：“无穷小量”到底是零不是零？

可惜，当时牛顿和莱布尼茨两位大牛都无法回答这一问题，英国主教还曾刻薄地说“无穷小量是逝去的量的鬼魂”。这样就导致了历史上的第二次数学危机。

一百多年来，大家好像是达成了共识，三缄其口，统一回避这一尴尬的事实。但是，随着“热传导”这一大课题的研究，这一问题到了无法回避的地步。

“避无可避，无需再避。”轰轰烈烈的微积分基础重构过程开始了。

• 1811年，傅里叶提出了三角级数，可以将任意函数表示成无穷项三角函数之和的形式；
  
  
• 1821年， 法国数学家柯西（Cauchy）在《分析教程》一书中，给出了极限概念比较精确的分析定义，并以极限概念为基础，给出了无穷小量、无穷级数的“和”等概念的较为明确的定义；
  
  
• 1855年，德国数学家维尔斯特拉斯（K. Weierstrass）（数学家都喜欢他，大一学生都痛恨他）总结了前人的工作，给出了极限的严格定义，即今天的“$\varepsilon-\delta$”定义。

至此，微积分根基重建工程才算基本结束。维尔斯特拉斯后来还与德国数学家戴德金（R. Dedekind）和康托（G. Cantor）一起创立了实数理论。康托还建立了一般集合理论，很可惜这一理论在一些深刻的悖论的冲击下千疮百孔，导致了“第三次数学危机”，这是后话了。

维尔斯特拉斯

从1665年牛顿创造流数法，到1855年维尔斯特拉斯给出极限的严格定义，经历了190年；从我国魏晋时期的割圆术算起，经历了1600多年；若从阿基米德的“穷竭法”算起，经历了2000多年。这一事实告诉我们：人们对客观世界的认识是逐步深化的，而一个理论的诞生，需要许多人艰辛的努力。