warning：个人笔记与习题解答，相信有很多错误
这一章全是各种逻辑推理，看完以后确实对集合论有了一定了解，了解了一些推理过程。习题也真多，所以分成1-3和4-6。

3.4 象和逆象

定义3.4.1
为什么根据替换公理，f(S)是明确定义了的
替换公理中，定义P(x,y)为$\{y:\exists x\in S使得f(x)=y\}$，这样选出的集合就是f(S）

如何根据分类公理来定义f(S)
分类公理中，定义f(S)为$\{y\in Y:\exists x\in X使得f(x)=y\}$

为什么

$$y\in f(S) <=> \exists x\in S, y=f(x)$$ 感觉这就是象的定义，不明白作者为什么加了个为什么

例3.4.5的为什么
等号左边等于{2}!={1,2,3}
例3.4.6的为什么
等号左边等于{-2,-1,0,1,2}!={-1,0,1,2}

注3.4.7说得对于双射的两种定义逆函数的方式见习题的说明：
V在$f^{-1}$ 的前象
V在f下的逆象

3.10幂集公理元素数量为$Y^X$，因为对于X中的每个元素，对应的函数值可能性等于Y的元素数量

为什么指标集是空的则集合为空？
因为没有任何集族

习题

3.4.1
$f^{-1}(y)=x$
V在$f^{-1}$ 下的前象

$$\{x:\exists y\in Y，使得f^{-1}(y)=x\}$$

V在f下的逆象

$$\{x:f(x)\in V\}$$ 对于双射函数，上面两个集合相同。

3.4.2

$$S\subseteq f^{-1}(f(S))$$ $$f(f^{-1}(U))=U$$ ，因为对于X中每个元素，Y中只有1个元素与其对应，对与Y中元素，X中可能有多个

3.4.3
根据3.4.1象的定义证明

$$f(A\cap B):=\{f(x):x\in A\cap B\}$$ 。上面的集合即属于$\{f(x):x\in A\}$ 也包含于$\{f(x):x\in B\}$。证明完毕，等于不成立，考虑A:{0,1}, B:{1,2}，f: 0->5 1->6 2->5。
对于 $$f(A)\setminus f(B)\subseteq f(A\setminus B)$$ 考虑 $$f(A):=\{f(x):x\in A\}$$ $$f(B):=\{f(x):x\in B\}$$ $$f(A\setminus B):=\{f(x):x\in A\setminus B\}$$ $y\in f(A)\setminus f(B)$则对于A中某个x满足y=f(x)，并且B中所有x都有y!=f(x)
$z\in f(A\setminus B)$则存在某个属于A但不属于B的元素x满足f(x)=z。等号不成立，同样考虑上面的例子A:{0,1}, B:{1,2}，f: 0->5 1->6 2->5。
$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$两个集合都为$\{f(x):x\in A\ or\ x\in B\}$

3.4.4

$$f^{-1}(U\cup V)=\{x\in X:f(x)\in U\cup V\}=$$ $$\{x\in X:f(x)\in U\}\cup \{x\in X:f(x)\in V\}=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$$ 其它两个证明类似

3.4.5如果f是满射，则对于每一个$y\in Y,都存在x=f^{-1}(y)\in X$，显然$f(f^{-1}(y))=y$。
如果对于每个$y\in S满足f(f^{-1}(y))=y$，显然存在$x=f^{-1}(y)\in X$满足f(x)=y，这就是满射的定义。
后面的证明类似。

3.4.6
设$Y\subseteq X$，定义函数f：X->{0, 1}，如果对X中x定义$f(x)=1 ,x\in Y$，否则f(x)=0，这样X的一个子集对应一个函数，根据幂集公理，所有函数为一个集合，这样所有子集也就是一个集合，具体定义方式如下：
根据幂集公理，$\{0,1\}^X$是一个集合，记为A，设$f\in A$，对f记$B_f=f^{-1}(\{1\})$为一个集合，应用替换公理，所有$B_f$的集合为一个集合。
3.4.7
根据3.4.6，所有X的子集构成一个集合A，所有Y的自己构成一个集合B，对于A中任意一个元素x，B中任意一个元素y，x和y都是集合，根据幂集公理，x为定义域，y为值域构成的所有函数构成一个集合C，同样根据幂集公理，所有x和y为元素的集合也可以组成集合（这个如果推理起来感觉比较麻烦，比如3.5.1，如果能用笛卡尔乘积就简单些），记为D。这样，对于D中某个元素，即某个确定的的x和y，利用替换公理可以将其替换为C中的元素，再对D运用并公理，得到的函数集合就是从X到Y的全体部分函数组成的集合。

3.4.8 并公理和双元素集公理蕴含双并公理
考虑两个集合A和B，根据双元素集公理，存在集合S={A, B}，
对S使用并公理，则

$$x\in \cup S = x\in A或者x\in B$$ ，这就是公理3.4中定义的双并。

3.4.9
等号两边都等于

$$\{x\in A_\beta \cap A_{\beta ‘}:对于一切\alpha \in I, x\in A_\alpha \}$$ 对于3.4则是显然的

3.4.10

$$(\cup_{\alpha \in I} A_\alpha)\cup (\cup_{\alpha \in J } A_\alpha) =\{A_\alpha : \alpha in I\cup J\}=\cup_{\alpha\in I\cup J}A_\alpha$$ 后一半同理

3.4.11
第一个等式两边集合的元素都满足：属于X，但不属于任何$A_\alpha$
第二个等式两边集合的元素都满足：属于X，但不属于某个$A_\alpha$