计算复杂性学习2-多带图灵机模拟

上一节用单带图灵机模拟了PAL，其实可以用一种称为多带的图灵机来模拟，就像第一篇文章中介绍的那样，多带图灵机是具有多个读写头的图灵机。

一个$k带图灵机$可以定义为一个四元组$M=(K,\Sigma,\delta,s)$,其中$K,\Sigma,\delta$和普通图灵机一样，$\delta$是一个必须反映多带复杂的程序。直观地，和以前一样，$\delta$决定下一个状态，也决定每一串的覆写字符，并通过当前状态和每一根带上的当前字符决定读写头的方向。形式化地，$\delta$是从$K \times\Sigma^*$到$（K \cup \{h,"yes","no"\}） \times (\Sigma \times \{ \leftarrow,\rightarrow,-\})^k$的函数。直观地，$\delta(q,\sigma_1,...\sigma_k)=(p,\rho_1,D_1,...\rho_k,D_k)$意味着，若M在状态q，并且第一条带上的图写头是$\sigma_1$,第二条是$\sigma_2$等，那么下一步的状态是p，并且第一个读写头的将写$\rho_1$，并且按照$D_1$所示的方向移动，其它读写头也是如此，停机时输出可以从最后的第k条带上字符串读出。

我们用一个3带图灵机（即输入带，工作带，输出带）模拟PAL和字母表{$\rhd,\square,0,1$}，它如下进行操作：
1.将输入复制到读写工作带上；
2.将输入带头移动到输入的开始位置；
3.输入带带头向右移动，而工作带带头向左移动。如果机器在带头移动过程中的任何时刻发现了两个不同的值，则停机输出0。
4.停机并输出1。

下面用更形式化的方法描述改图灵机。图灵机有5种状态，{$q_{start},q_{copy},q_{left},q_{right},q_{test},q_{halt}$},其转移函数的定义如下：
1、在开始状态$q_{start}$上：输入带带头向右移动，在工作带上写下开始符号，$\rhd$之后，工作带带头向右移动，机器状态变成$q_{copy}$。
2、在$q_{copy}$状态：$q_{copy}状态意味进入拷贝输入带字符的状态$，如果从输入带上读到的字符不是空白符号$\square$,则输入带和工作带一起向右移动，将输入带的字符依次拷贝到工作带上,机器状态为$q_{copy}$
如果从输入带读到的字符是空白符号$\square$,则输入带带头向左移动，工作带带头停留当前位置（不覆写字符），机器进入状态$q_{left}$。
3、在状态$q_{left}$：
如果从输入带带头读到的字符不是开始字符$\rhd$,则输入带带头向左移动，工作带带头仍停留在当前位置， 机器停留在$q_{left}$状态下;
如果从输入带带头读到的字符是开始字符$\rhd$，则输入带带头向移动，工作做带带头向左移动（不覆写），机器进入$q_{test}$。
4：在状态$q_{test}$：如果输入带和工作带读到的符号相同，则输入带带向右移动，工作带带头向左移动，机器状态为$q_{test}$；
如果输入带和工作带读到的符号不同，输出带写0，机器进入$q_{halt}$；如果到最后输入带移动到$\square$,工作带移动到$\rhd$，说明是PAL，输出带输出1，机器进入$q_{halt}$。

当然可以改进以上步骤，模拟方法也不是唯一的，一步一步的分析图灵机的过程比较繁琐，但是更能加深对图灵机工作的过程。下一节单带图灵机和多带图灵机结合在一起讨论。