warning：个人笔记与习题解答，必然有很多错误！！
觉得这一章很有意思，如果觉得看的过程是一种享受，习题就感觉容易些，如果觉得是任务，就会感觉很难，而且很不确定做的对不对
这一章的很多为什么感觉明显比上一章的简单，根据定义很容易得出，很多就不写了

3.1 基本事项

定义3.1.4为什么属于∈ 遵从带入公理A.7
对于集合A和B作为对象采用带入公理，并且根据相等关系定义，对于A=B，显然x同时属于A和B，证明完毕
公理3.2后面为什么
两个空集??′彼此相等
只需要说明? 中每个元素都属于?′， 这是成立的，因为空集中没有元素，反过来也一样，根据定义，这两个集合相等。
3.1.9的两个为什么都可以更加相等的定义说明
为什么a构成的单元素集唯一
为什么{a,b}={b,a}
为什么{a,a}={a}
例3.1.10为什么{?}≠?，因为?属于等号左边，不属于等候右边
注3.1.12中为什么并运算满足带入公理，只说明为什么A∪B=>A′∪B，等号左边的元素满足x∈A or x∈B 也就是x∈A′ or x∈B ，也就是A′∪B
公理3.5的分类公理又是一个以前经常用的概念被作为公理说明，想起了上一章的数学归纳法

习题3.1

3.1.1
A=A
左边A中每个元素都是右边A中元素，右边A中每个元素都是左边A中元素。
A=B <=> B=A
根据定义A中每个元素都是B中元素并且B中每个元素都是A中元素
A=B B=C => A=C
A中每个元素都是B中元素（A=B），也是C中元素（B=C）
C中每个元素都是B中元素（B=C），也是A中元素（A=B）
3.1.2
证明过程完全类似3.1.10中的为什么，公理3.3保证这些集合都是有效集合
3.1.3

a,b=a∪b
两边包含的元素x满足同样性质x=a or x=b
A∪B=B∪A
两边包含的元素x满足同样性质x∈A or x∈B，最后一个四元等式的元素都满足x∈A
3.1.4

A?B and B?A
则A中每个元素都是B中每个元素并且B中每个元素都是A中每个元素，刚好是相等的定义。后面一个结论的子集属性跟第一个结论相同，只需要说明A不等于C即可，用反证法。
3.1.5
A?B A∪B=B A∩B=A
等价，循环论证：
1->2
A?B 则A中每个元素都属于B，所以A∪B?B ，根据双并的定义，B?A∪B，所以A=B，证明完成
1->3的证明类似
3->1
A∩B=A 说明A中每个元素都既属于A又属于B，也就是A中每个元素都属于B
2->1的证明类似
3.1.6
(a)略，简单
(b)就是习题3.1.5
(c)略，根据定义证明
(d)略，根据定义证明
(e)就是引理3.1.13
(f)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
，如果x属于左边，则x属于A并且x属于B或者C，也就是x属于A并且B或者属于A并且C，就是右边。第二个等式类似证明
(g)
A∪(X?A)=X
如果x属于左边，则x属于A或者x属于X并且不属于A，等于A∪X，等于X
A∩(X?A)=?
x属于左边则x属于A并且A属于X并且不属于A也就是x属于A并且不属于A，所以为空集
(h)
X?(A∪B)=(X?A)∩(X?B)
如果x属于左边，则x属于X，并且不属于A与B，也就是x属于X并且不属于A，并且x属于X并且不属于B，也就是右边。第二个等式类似。
3.1.7 略
3.1.8 略
3.1.9
题目说明A和B没有共同元素，要证明
A=(A∪B)?B
如果x属于等号右边，则x为A和B中元素去掉B中元素，由于A和B没有共同元素，所以去掉过程不会去掉A中元素，所以只剩下A中元素，等号得证。
3.1.10
如果x∈A?B ，则x?B，所以x?A∩B
如果x∈A∩B，则x属于A并且属于B，而x∈A?B 要求x?B
综上，前两个集合不想交
其他不相交性同理
下面证明
(A?B)∪(B?A)∪(A∩B)=A∪B
，属于等号左边的元素显然或者属于A或者属于B，? 得证，对于?，对于满足x∈A∪B 的元素，或者只属于A或者只属于B或者同时属于A和B，分别是等号左边的3个集合。
3.1.11
分类：从A中选择满足P(x)成立的x
替换：满足从A中某个x，使得满足Q(x,y)的y(这里用了Q代替P)
可以这样定义Q(x,y)：P(x)并且y=x，这样得到的y的集合与P(x)选出的x的集合相同。

3.2 Russell悖论

每次看罗素悖论都得想半天才能明白怎么回事，集合论实在是难，抽象的数学都不好学。

习题3.2

3.2.1解答方法就是构造各种P(x)，点了个编辑别的文章，写的东西都丢了，懒得再敲键盘了，公理3.2-3.6都很简单
公理3.2
公理3.3
公理3.4
公理3.5
公理3.6
公理3.7
定义命题P(x)：P(0)为真，如果P(n)为真，满足公理2.1-2.5的P(n++)也为真，其余对象都为假
3.2.2 题目翻译的与前面不同，“单点集公理”前面公理3.3是“单元素集”，其实都是“singleton set”，看了英文版才确定是这样。
根据“singleton set”，反证法，假定A∈A，考虑元素A构成的单元素集合{A}，我们目标是证明这个集合不满足正则性，这个集合只有一个元素A，我们需要证明A与{A}相交。
由于A∈{A} （集合定义）
A∈A （反证法假定）
由于{A}只有1个元素，所以A∪{A}={A} 不为空，证明完成。
第二个命题两个集合A和B不可能同时A∈B并且B∈A
反证法，假设二者同时成立，这里的反例是{A, B}
由于A∈B 并且A∈{A,B} 而且B?B 所以B∪{A,B}={A}，同理A∪{A,B}={B}，这样，对于{A,B} 中的2个元素都与这个集合相交，不满足正则性。
3.2.3
万有分类公理=>存在万有集合
对所有元素P(x)为真
存在万有集合=>万有分类公理
对于万有集合每个对象x，都可以定义依赖于x的性质P(x)

3.3函数

为什么函数满足带入公理（3.1节中满足带入公理的是元素属于集合）
反证法，如果x和x’都属于A，假设f(x)!=f(x’)，由于P(x,f(x))和P(x’,f(x’))成立，所以P(x,f(x’))也成立，这样对x有2个y使P成立，与函数定义矛盾

例3.3.9为什么
为什么对于空集到任意集合X的函数是唯一的，因为根据定义，首先定义域和值域相等，其次，对于空集中的任意元素，到X的值是相等的（因为根本没有元素）

引理3.3.12 这个我看的英文版本是错误的，很明显，中文版本修正过来了

注3.3.23 别和1对1函数相混淆，啥意思？定义域和值域都只有1个元素的函数？

习题3.3

3.3.1
自反，证明f=f
首先定义域值域都相同，其次，对于定义域的每个x，有f(x)=f(x)
对称，证明f=g => g=f
f=g说明二者定义域X值域Y相同
$\forall x\in X\ f(x)=g(x)$
所以$\forall x\in X\ g(x)=f(x)$
所以g=f
本质上是等号的对称性
传递
同理根据等号的传递性可以证明
带入性质
$f(x)=\tilde{f}(x),\ g(y)=\tilde{g}(y)$
所以$g(f(x))=\tilde{g}(\tilde{f}(x))$
结论得证

3.3.2
x!=x’ => (f单射)
f(x)!=f(x’) => (g单射)
g(f(x))!=g(f(x’)) 得出$g\circ f$ 单射
满射的证明同理

3.3.3
空函数都是单射
如果值域是空，则为满射
如果值域为空，则为双射

3.3.4
证明如果$g\circ f=g\circ \tilde{f}$，则$f=\tilde{f}$
反证法，假设不相等，则至少有某个定义域X中x，满足$f(x)\ne \tilde{f}(x)$，由于g是单射，所以$g\circ f(x)\ne g\circ \tilde{f}(x)$，矛盾
如果g不是单射，则上面证明过程中$g\circ f(x)\ne g\circ \tilde{f}(x)$ 没法得出。
满射
反证法，假设$g\ne \tilde{g}$，则存在$g(y)\ne \tilde{g}(y)$，由于f满射，必然存在x满足$g(f(x))\ne \tilde{g}(f(x))$，矛盾。
如果不是满射，则上面证明过程中可能没有x满足f(x)=y，也就是对于f的值域满足$g\circ f=\tilde g\circ {f}$，但是g与$\tilde g$ 可能还有其它的定义域对应不同的值。

3.3.5 f必然是单射
用反证法，如果f不是单射则存在f(x)=f(x’)，由于g是函数，所以g(f(x))=g(f’(x))，矛盾。g也一定是单射，证明过程类似
g必定是满射
因为对于$g\circ f$ 中的每个元素z，都存在x满足g(f(x))，所以必存在Y中的元素f(x)，也就是g是满射。
f不一定是满射，考虑这种情况：g(y)=z且g(y’)=z（非单射），则y’可以在f的定义域中没有对应值，只需要y有即可

3.3.6 主要根据函数的带入公理证明
由于f是双射，所以对于每个x，可以求出f(x)，而对于y=f(x)，定义域中恰好有一个f(x’)=f(x)，而这个x’必然等于x，我们记$x=x‘=f^{-1}(f(x))$
由于f是双射，所以对于每个y，可以找到X中的x满足$x=f^{-1}(y)$ 则$f(f^{-1}(y))=f(x)=y$
容易验证$f^{-1}$也是双射，所以也是可逆的，根据上面的结论得出$(f^{-1})^{-1}=f$

3.3.7
双射的性质分单射和满射分别证明，比较容易。
对于$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
考虑这个映射为X->Y->Z
由于为双射，对于Z中某个z，必定存在z=g(f(x))，这个x记作$(g\circ f)^{-1}(z)$，记y=f(x)，则$x=f^{-1}(y)$，而$y=g^{-1}(z)$，所以

$$x=f^{-1}(g^{-1}(z))=f^{-1}\circ g^{-1}=(g\circ f)^{-1}(z)$$

3.3.8
(a)首先等式两边定义域都为X，值域都为Z
由于$X\subseteq Z$，对于$x\in X， \tau _{X->Z}(x):=x$
对于$x\in X， \tau _{X->Y}(x):=x$，并且$x\in Y， \tau _{Y->Z}(x):=x$，即

$$x\in X， \tau _{Y->Z}(\tau _{X->Y}(x)):=x$$ ，即$\tau _{Y->Z}\circ \tau _{X->Y}(x):=x$，证明完成
(b)定义域都为A，值域都为B
对于$x\in A$，$f\circ \tau_{A->A}(x)=f( \tau_{A->A}(x))=f(x)$
满足函数相等的定义。剩余的证明类似
(c)根据习题3.3.6可以立即得出
(d)这样定义h：对于$x\in X$，h(x)=f(x)；对于$x\in Y$，h(x)=g(x)。证明$h\circ \tau_{X\cup Y}=f$
首先定义域都为X，值域都为Z，对于任意$x\in X$，等式两边函数得出的值相等。剩余的证明类似