NYOJ 102 次方求模

标签：acm数学   大数问题   快速幂   求幂算法   

描述

求a的b次方对c取余的值

 

输入

第一行输入一个整数n表示测试数据的组数（n<100）
每组测试只有一行，其中有三个正整数a,b,c(1=<a,b,c<=1000000000)

输出

输出a的b次方对c取余之后的结果

样例输入

3
2 3 5
3 100 10
11 12345 12345

样例输出

3
1
10481

算法分析：

大数问题，需要利用快速幂取模算法。

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。求a^b mod c = 几。 (result就是取余后的结果)
算法1.普通算法：

int pow( int a, int b )
{
    int r = 1;
    while( b-- )
        r *= a;
    return r;
}
result=r%c;

算法2.二分法

int pow( int a, int b )
{
    int r = 1, base = a;
    while( b != 0 )
    {
        if( b % 2 )
            r *= base;
        base *= base;
        b /= 2;
    }
    return r;
}
result=r%c;

首先要了解这样一个公式：a^b mod c=(a mod c)^b mod c(详细证明请看数论或者离散数学)
了解了这个公式，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小， 于是不用思考的进行了改进，代码如下： 

int pow(int a, int b)
{
	int r = 1; 
	a = a % c;               //加上这一句 
	while(b--) { 
		r*=a;            //为了使r每次的数值更小，保证数据大小的可行性，这里可以改为  r=(r*a)%c;
	}
}
result = r % c; 

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经允许更大b值，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们结合前面推出更快更好快速幂算法。 快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。 

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过 ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。  
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。 代码如下：

int Pow(int a, int b, int c) 
{ 
	int r = 1; a = a % c; 
	while(b>0) 
	{ 
		
		if(b % 2 = = 1) 
			r = (r * a) % c;
		b = b/2; 
		a = (a * a) % c; 
	} 
	return r;
}

利用位操作实现快速幂的代码如下:(测试了下这种求幂法能力很有限，如果不在中间取模，，很容易就溢出了)

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
_int64 pow( _int64 a, _int64 b );
int main()
{
	_int64 a,b,c;
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d\n",100&1);
	while(n--){
		scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c);
		printf("%I64d\n",pow(a,b)%c);
	}
	return 0;
}
_int64 pow( _int64 a, _int64 b )
{
    _int64 r = 1, base = a;
	printf("%I64d  %I64d\n",a,b);
    while( b != 0 )
    {
        if( b & 1 )
            r *= base;
        base *= base;
	printf("  %I64d  %I64d\n",r,b);
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

本题代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
long long pow(long long a,long long b,long long c);
int main(void)
{
	long long a,b,c;
	int n;
	scanf("%d",&n);
	while(n--){
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		printf("%lld\n",pow(a,b,c));
	}
	return 0;
}
long long pow(long long a,long long b,long long c)
{
	int r=1;
	a=a%c;
	while(b>0){
		if(b%2==1)
			r=(r*a)%c;
		b=b/2;
		a=(a*a)%c;
	}
	return r;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/u014492609/article/details/38320957