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Burnside引理和polay计数学习小记

时间:2016-05-25 18:46:42      阅读:167      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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来自将狼踩尽

在组合数学中有这样一类问题,比如用红蓝两种颜色对2*2的格子染色,旋转后相同的算作一种。有多少种不同的染色方案?我们列举出,那么一共有16种。但是我们发现,3,4,5,6是同一种,7,8,9,10是用一种,11,12是同一种,13,14,15,16是同一种,也就是只有6种本质上不同的染色。小规模我们可以列举所有方案然后再选择,大规模的时候是很难列举所有方案的。下面,我们说明用Burnside引理和polay计数来解决这类问题。

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一、置换群G:即指所有的置换。上面的例子中置换只有4种,即旋转0、90、180和270度。其中G的大小记为|G|=4。

二、(1)对于每个元素K,这里的K满足1<=k<=16,G中使得K保持不变的置换组成的全体,称为技术分享。比如四种置换都可以使得1保持不变,而只有第一种和第三种置换使得11保持不变,所以我们有(G中的元素用g来表示):

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(2)对于每个元素K,在四种置换的作用下依次得到的元素称作K在G下的轨迹,表示为技术分享,代表一个等价类。比如1在四种置换下都得到1,3在四种置换下依次得到3,4,5,6。所以我们有:

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我们发现在同一个等价类中的元素的等价类都是一样的,比如3,4,5,6的等价类都是跟3一样的。在这里我们给出一个公式,自己计算下显然成立:

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四、接下来我们计算每个元素在各个置换下不变的次数总和。如下图所示。

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由上图可得到(注意上图是用a来表示置换的,我们都是用的g),比如1在第一种置换下没有变,那么技术分享,且在第一种置换下16种都没有变,第二种置换下只有1、2没有变,第三种置换下只有1,2,11,12没有变,第四种置换下只有1、2没有变,那么有:

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其实我们有下面的式子成立:

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下面,我们用n来表示总的元素个数,上面n=16,我们用|G|来表示置换个数,上面|G|=4。我们设有L个等价类(我们在上面说了,比如3,4,5,6的等价类都是一样的,上面其实只有5个等价类,{1},{2},{3,4,5,6},{11,12},{13,14,15,16}),我们有:

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所以,

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这个就是著名的Burnside引理。注意这里的L其实就是我们要求的不同的染色方案的数目。因为L代表的是不同的等价类,同一个等价类就好比是一种染色。我们得到L=(16+2+4+2)/4=6,跟一开始我们得到的答案是一样的。使用这个引理计算时,第一步求出所有的置换,第二步计算每种置换下的不变元素的个数。但是,我们发现,有时候第二步的这个计算是不那么容易的。下面我们说polay定理。

五、我们首先说明循环节是个啥。

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比如对于一个n=5,在某一种置换下(1,2,3,4,5)变成了(3,5,1,4,2),我们将其记为(13)(25)(4),即该置换的循环节为3。也就是两个置换节之间是不相交的。对于上面的那个问题,我们对四个方格标号1,2,3,4。

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构造置换:

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我们发现,技术分享的同一个置换节中的元素用同一种颜色(我们现在假设用m种颜色,刚才m=2)染色得到的方案数技术分享就是在上面在技术分享置换下不变的元素数:

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由此我们得到:

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这就是举世闻名的polay定理。用这个定理计算,我们只需要找到每个置换的循环节即可。

Burnside引理和polay计数学习小记

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原文地址:http://www.cnblogs.com/qzqzgfy/p/5527916.html

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