石子合并（四边形不等式优化dp）

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该来的总是要来的————————

经典问题，石子合并。

　　对于 f[i][j]= min{f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]}

From 黑书

凸四边形不等式：w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]（a<b<c<d）

区间包含关系单调: w[b][c]<=w[a][d]（a<b<c<d）

定理1：  如果w同时满足四边形不等式和决策单调性 ,则f也满足四边形不等式

定理2：  若f满足四边形不等式，则决策s满足 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]

定理3： w为凸当且仅当w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i+1][j]+w[i][j+1]   

简要证明：

若w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]，归纳证明f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]

　　设f[a][d]最优决策是在s取到,f[b][c]最优决策在t取到,设s<t,反之同理

　　可知a<s<t<c<d

　　　　f[a][c]+f[b][d]<=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][c] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][d]

　　　　　　　　　　　 =f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][d] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][c]

　　　　　　　　　　　<=f[a][s]+w[a][d]+f[s+1][d] + f[b][t]+w[b][c]+f[t+1][c]         归纳得到 sc+td<sd+tc  起始条件即定理3

　　　　　　　　　　　=f[a][d]+f[b][c]

得证.

若f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d],则s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]

　　仅证s[i][j-1]<=s[i][j],右边同理

　　记f_k[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]

　　记s点为[i,j]最优点,t点为[i,j+1]最优点,

　　则只需证明 在[i,j+1]决策时, 取s点能够比取在k∈[i,s-1]的点更优即可

　　　　即证明 f_s[i,j+1]<=f_k[i,j+1]

　　又因为f_s[i,j]<=f_k[i,j]

　　　　　只需证明 0 <= f_k[i,j] - f_s[i,j] <= f_k[i,j+1] - f_s[i,j+1]

　　　　　　可发现右边即 f_k[i,j] + f_s[i,j+1] <= f_k[i,j+1] + f_s[i,j]  

　　　　　　展开后即： f[k][j] + f[s][j+1] <= f[k][j+1] + f[s][j]

　　　　　　正是 k<s<j<j+1 的四边形不等式

得证.

一般利用定理3证明凸函数，然后利用定理2的结论 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]

　　就能够使得复杂度由O(n^3)降低为O(n^2)

详细证明参见《动态规划算法的优化技巧》--毛子青（会因为论文用i,j,i‘,j‘搞得雾水，但是慢慢推一下就能够出来）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1005
int s[N][N],f[N][N],sum[N],n;
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(f,127,sizeof(f));
        sum[0]=0;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            scanf("%d",&sum[i]);
            sum[i]+=sum[i-1];
            f[i][i]=0;
            s[i][i+1]=i;
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
            f[i][i+1]=sum[i+1]-sum[i-1];

        for(int i=n-2; i>=1; i--)
            for(int j=i+2; j<=n; j++)
                for(int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]; k++)
                if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])
                {
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    s[i][j]=k;
                }
    
        printf("%d\n",f[1][n]);
    }
    return 0;
}

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Mathics/p/3885745.html