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文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。
参数估计中，我们会遇到两个主要问题：（1）如何去估计参数的value。（2）估计出参数的value之后，如何去计算新的observation的概率，即进行回归分析和预测。
首先定义一些符号：
数据集X中的所有Xi，他们是独立同分布的，因此后面求X 的概率的时候，xi可以相乘。
这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即
顾名思义，当然是要找到一个参数，使得L最大，为什么要使得它最大呢，因为X都发生了，即基于一个参数发生的，那么当然就得使得它发生的概率最大。
最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做
相乘因为它们之间是独立同分布的。由于有连乘运算，通常对似然函数取对数计算简便，即对数似然函数。
最大似然估计问题可以写成
这是一个关于的函数，求解这个优化问题通常对
求导，得到导数为0的极值点。该函数取得最大值是对应的
的取值就是我们估计的模型参数。
求出参数值不是最终目的，最终目的是去预测新事件基于这个参数下发生的概率。
Note: 注意有一个约等于，因为他进行了一个近似的替换，将theta替换成了估计的值，便于计算。that is, the next sample is anticipated to be distributed with the estimated parameters θ ? ML .
以扔硬币的伯努利实验为例子，N次实验的结果服从二项分布，参数为P，即每次实验事件发生的概率，不妨设为是得到正面的概率。为了估计P，采用最大似然估计，似然函数可以写作
其中表示实验结果为i的次数。下面求似然函数的极值点，有
得到参数p的最大似然估计值为
可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。
如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次，那么根据最大似然估计得到参数值p为12/20 = 0.6。
最大后验估计与最大似然估计相似，不同点在于估计的函数中允许加入一个先验
，也就是说此时不是要求似然函数最大，而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大，即
Note: 这里P（X）与参数无关，因此等价于要使分子最大。
通过加上这个先验分布项，我们可以编码额外的信息，并且可以避免参数的过拟合问题。
与最大似然估计相比，现在需要多加上一个先验分布概率的对数。在实际应用中，这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。例如在扔硬币的试验中，每次抛出正面发生的概率应该服从一个概率分布，这个概率在0.5处取得最大值，这个分布就是先验分布。先验分布的参数我们称为超参数(hyperparameter)即，我们认为，theta也是服从一个先验分布的：alpha是他的超参数
同样的道理，当上述后验概率取得最大值时，我们就得到根据MAP估计出的参数值。
Note: 这里积分第一项与theta无关（使用的是MAP值），所以第二项积分为1（也就是后验概率不随新来的数据变化，为1？）。
我们期望先验概率分布在0.5处取得最大值，我们可以选用Beta分布（lz：实际上选择beta分布的原因是beta分布和二项分布是共轭分布）即
其中Beta函数展开是
当x为正整数时
Beta分布的随机变量范围是[0,1],所以可以生成normalized probability values。下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数
我们取,这样先验分布在0.5处取得最大值（观察上面的图，因为我们先验认为p约等于0.5，因此超参数a和b是相等的，我们这里选择等于5）。
现在我们来求解MAP估计函数的极值点，同样对p求导数，得到参数p的的最大后验估计值为
后面两项是对log(p(p|alpha,beta))的求导
和最大似然估计ML的结果对比可以发现结果中多了，我们称这两者为pseudo
count伪计数，这两项的作用是使总概率p向0.5拉近，因为我们的先验认为就是约等于0.5的。这样的pseudo-counts就是先验在起作用，并且超参数越大，为了改变先验分布传递的belief所需要的观察值就越多，此时对应的Beta函数越聚集，紧缩在其最大值两侧。
如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次，那么，根据MAP估计出来的参数p为16/28 = 0.571,小于最大似然估计得到的值0.6，这也显示了“硬币一般是两面均匀的”这一先验对参数估计的影响。
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贝叶斯估计是在MAP上做进一步拓展，此时不直接估计参数的值，而是允许参数服从一定概率分布。极大似然估计和极大后验概率估计，都求出了参数theta的值，而贝叶斯推断则不是，贝叶斯推断扩展了极大后验概率估计MAP（一个是等于，一个是约等于）方法，它根据参数的先验分布P(theta)和一系列观察X，求出参数theta的后验分布P(theta|X)，然后求出theta的期望值，作为其最终值。另外还定义了参数的一个方差量，来评估参数估计的准确程度或者置信度。
贝叶斯公式
现在不是要求后验概率最大，这样就需要求,即观察到的evidence的概率，由全概率公式展开可得
当新的数据被观察到时，后验概率可以自动随之调整。但是通常这个全概率的求法是贝叶斯估计比较有技巧性的地方。
如果我们想求一个新值的概率，可以由下面公式来计算。
此时第二项因子在上的积分不再等于1，这就是和MLE及MAP很大的不同点。
跟上面极大后验概率例子一样，N次伯努利实验，参数p（即正面的概率）的先验分布是参数为（5,5）的beta分布，然后接下来，我们根据参数p的先验分布和N次伯努利实验结果来求p的后验分布。我们假设先验分布为Beta分布，但是构造贝叶斯估计时，不是要求用后验最大时的参数来近似作为参数值，而是求满足Beta分布的参数p的期望，也就是直接写出参数的分布再来求分布的期望，有
Note:
1 C是所有实验结果的集合Ci=1或者0。
2
3 这里用到了公式
根据结果可以知道，根据贝叶斯估计，参数p服从一个新的Beta分布。回忆一下，我们为p选取的先验分布是Beta分布，然后以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验概率仍然服从Beta分布，由此我们说二项分布和Beta分布是共轭分布。当T为二维的情形可以对Beta分布来应用；T为多维的情形可以对狄利克雷分布应用。
根据Beta分布的期望和方差计算公式，我们有
可以看出此时估计的p的期望和MLE ，MAP中得到的估计值都不同，此时如果仍然是做20次实验，12次正面，8次反面，那么我们根据贝叶斯估计得到的p满足参数为12+5和8+5的Beta分布，其均值和方差分别是17/30=0.567, 17*13/(31*30^2)=0.0079。可以看到此时求出的p的期望比MLE和MAP得到的估计值都小，更加接近0.5。
综上所述我们可以可视化MLE,MAP和贝叶斯估计对参数的估计结果如下
lz：从MLE到MAP再到贝叶斯估计，对参数的表示越来越精确（由易到难，估计的value也越来越perfect），得到的参数估计结果也越来越接近0.5这个先验概率，越来越能够反映基于样本的真实参数情况。
While MLE is guaranteed to maximizes the probability of an observed data, we areactually interested in finding estimators that perform well on new data. A serious problemarises from this perspective because the MLE assigns a zero probability to elements
thathave not been observed in the corpus. This means it will assign a zero probability to anysequence containing a previously unseen element.
from:
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/51482120
ref:
Gregor Heinrich: Parameter estimation for text analysis*
文本分析中的参数估计，以LDA为例，英文版：Heinrich-GibbsLDA.pdf
Reading Note : Parameter estimation for text analysis 暨LDA学习小结
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