数学奥林匹克问题解答：平面几何-5

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已知: 非等腰 $\triangle{ABC}$, $BD, CE$ 分别是 $AC,AB$ 边上的高, $F$ 是 $BC$ 边上的中点, $EF, DF$ 的中点分别是 $M,N$, $I$ 是 $MN$ 上一点, 且满足 $AI\parallel BC$.

求证: $IA = IF$.

分析:

$BD,CE$ 之交点是 $\triangle{ABC}$ 的垂心 $H$, 且易知 $A, E, H, D$ 四点共圆, 即 $IA$ 是 $\odot{O}$ 之切线.

另一方面, 由 $M, N$ 分别是 $\odot{O}$ 两条切线 $(FD, FE)$ 之中点, 依据根轴性质即可得证.

证明:

易知, $BD, CE$ 之交点即为 $\triangle{ABC}$ 之垂心 $H$, 且 $A, E, H, D$ 四点共圆, 设该圆为 $\odot{O}$, 并连结 $AH, DE$.

由 $F$ 是 $BC$ 中点及 $BD\perp AC$, 可得:

$\angle{BDF} = \angle{DBC} = 90^{\circ} - \angle{ACB} = \angle{DAH}\Rightarrow FD$ 是 $\odot{O}$ 之切线.

同理可证 $FE$ 是 $\odot{O}$ 之切线.

又 $\because M,N$ 分别是 $FE, FD$ 之中点, $\therefore$ 连结 $OF$ 易证 $OF\perp MN$.

因此, $MN$ 是 $\odot{O}$ 与定点 $I$ 之根轴, 即满足 $IA^2 = IF^2\Rightarrow IA = IF$.

Q$\cdot$ E$\cdot$ D

评注:

1. 根轴是指两圆之等幂线(轨迹), 即一点到两圆周的幂相等的点的轨迹. 该轨迹为垂直于两圆连心线的直线. 特别地,

当两圆相交时, 根轴为两圆公共弦;

当两圆相切时, 根轴为过两圆切点的公切线;

当两圆相离时, 根轴为过两圆四条公切线中点的直线.

2. 本题中 $\odot{F}$ 之半径为0, 故 $I$ 对 $\odot{F}$ 的幂为 $IF^2$.

数学奥林匹克问题解答：平面几何-5

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