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最短路 - bellman-ford 算法模板

时间:2014-08-02 17:49:23      阅读:261      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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http://acm.sdut.edu.cn/sdutoj/problem.php?action=showproblem&problemid=2894

 

谈一下对贝尔曼福特的认识(参考别人的)

 

BF是对边进行操作,dijkstra 是对点进行操作,N个顶点的最短路最多是N-1条边,所以需要循环N-1次

1.初始化

2.迭代求解:反复对边集中的每条边进行松弛操作,使得顶点集v中的每个顶点vde最短距离逐步逼近其最短距离,运行v-1次

3:检验负权回路:判断边集中的每一条边的两个端点是否收敛,如果存在未瘦脸的顶点,则返回false,表明问题无解,否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在的d【v】中。

 

 

 

4描述性证明编辑

 

首先指出,图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此它最多包含|v|-1条边。

 

其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。

 

在对每条边进行第1遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边,所以,只需要循环|v|-1 次。

 

每实施一次松弛操作最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,怎么优化?单纯的优化是否可行?)

 

注意:上述只对正权图有效。如果存在负权不一定第i次就能确定最短路,且与边的顺序有关。

 

如果没有负权回路,由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1,所以最多经过|v|-1遍松弛操作后,所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞,则表明从s到v不可达。

 

如果有负权回路,那么第 |v| 遍松弛操作仍然会成功,这时,负权回路上的顶点不会收敛。[1]

 

 

 

 

 

 

 
Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
d(v) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图:
 bubuko.com,布布扣

 

经过第一次遍历后,点B的值变为5,点C的值变为8,这时,注意权重为-10的边,这条边的存在,导致点A的值变为-2。(8+ -10=-2)
 
 bubuko.com,布布扣

 

第二次遍历后,点B的值变为3,点C变为6,点A变为-4。正是因为有一条负边在回路中,导致每次遍历后,各个点的值不断变小。
 
在回过来看一下bellman-ford算法的第三部分,遍历所有边,检查是否存在d(v) > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的,所以如果存在无法收敛的情况,则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
 bubuko.com,布布扣

 

此时,点A的值为-2,点B的值为5,边AB的权重为5,5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。
 
所以,Bellman-Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问。

 

 

 

http://blog.csdn.net/u012860063/article/details/24492003

 

 

 

// BF  贝尔曼福特代码模板,学习
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 999999
struct node
{
    int u,v,w;
}q[4000002];
int dis[500002];
int t = 0;
int n,m;
int s,e;
int u,v,w;
int flag;
void add(int u,int v,int w)
{
    q[t].u = u;
    q[t].v = v;
    q[t++].w = w;
}
void BF()
{
    int i,j;
    for(i = 0;i<=n;i++)
    {
        dis[i] = INF;
    }
    dis[s] = 0;
    for(i = 1;i<=n-1;i++)
    {
        flag = 0;
        for(j = 0;j<t;j++)
        {
            if(dis[q[j].v]>dis[q[j].u] + q[j].w)
            {
                dis[q[j].v] = dis[q[j].u] + q[j].w;
                flag = 1;
            }
        }
        if(flag == 0)
        break;
    }
    printf("%d\n",dis[e]);
}
int main()
{
    int i = 0;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i = 0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(u,v,w);
            add(v,u,w);
        }
        scanf("%d%d",&s,&e);
        BF();
    }
    return 0;
}

 

最短路 - bellman-ford 算法模板,布布扣,bubuko.com

最短路 - bellman-ford 算法模板

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原文地址:http://www.cnblogs.com/yangyongqian/p/3887072.html

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