0-1背包 动态规划

给定n种物品和一个背包，物品i的重量是$w_i$,价值$v_i$,背包的重量是C，问如何选择装入背包的物品，使装入背包中的物品总价值最大？
对于每种物品只能选择完全装入或不装入，一个物品至多装入一次。

输入：整数C>0，整数$w_i>0,v_i>0,1\le i \le n$
输出：$(x_1,x_2,....,x_n),x_i \in \{0,1\}$,满足$\sum _{1 \le i \le n}w_ix_i \le C$最大

问题优化子结构
$P_i=[\{i,i+1,.......,n\},C_i=C-\sum _{1 \le k \le i-1}w_kx_k ]$
代表物品$1 \sim i-1$已经考虑完毕，物品$i \sim n$还没有被考虑是否被选择，此时背包剩余容量为C。

设$S_i=(y_i,y_{i+1},...,y_n)，其中y_i \in \{0,1\}$，是背包问题$P_i=[\{i,i+1,.......,n\},C_i=C-\sum _{1 \le k \le i-1}w_kx_k ]$的优化解，那么其子问题$S_{i+1}=(y_i+1,y_{i+2},...,y_n)，y_i \in \{0,1\}$，是背包问题$P_{i+1}=[\{i+1,i+2,.......,n\},C_{i+1}=C-\sum _{1 \le k \le i}w_kx_k ]$的优化解。

假设子问题的解$S_{i+1}=(y_i+1,y_{i+2},...,y_n)$不是最优的，则存在$S_{i+1}‘=(z_i+1,z_{i+2},...,z_n)$是$P_{i+1}$的更优解。则$S_i‘=(z_i,z_{i+1},...,z_n)$是问题$P_i$比$S_i$更优的解，与$S_i$是最优解矛盾。

子问题重叠性
$\{4,........,n\},C-w_3$表示没有选择物品1、2、选择了物品三。

$\{4,........,n\},C-w_1-w_2$表示选择了物品1、2，没有选择物品三。

$\{4,........,n\},C-w_1$表示选择了物品1，没有选择物品2、3。

显然当$w_1 + w_2 、w_3、w_1$若有相同的值时，具有重叠子问题性，或者说，当$w_i$有重叠时，存在大量重叠子问题。

定义代价矩阵$m$
矩阵元素$m(i,j)$是子问题$P_i=[\{i,i+1,......,n\},j]$的优化解$(y_i,y_{i+1},.....,y_n)$的代价，$m(i,j)= \sum _{i \le k \le n }v_ky_k$

递归方程
$[\{i,i+1,......,n\},j]$

$\color{red}{0 \le j \lt w_i,}\color{blue}{m(i,j)=m(i+1,j)}$

$\color{red}{j \gt w_i,}\color{blue}{m(i,j)=max\{m(i+1,j),m(i+1,j-w_i)+v_i\}}$

$[\{n\},j]$
$\color{red}{0 \le j \lt w_i,}\color{blue}{m(n,j)=0}$

$\color{red}{j \gt w_i,}\color{blue}{m(n,j)=v_n}$

递归的划分子问题

自底向上计算优化解的代价

设$w_i-1 \lt C$
//初始已知值
For $j=0$ To $w_n-1$ Do
$\qquad m[n,j]=0;$

For $j=w_n$ To $C$ Do
$\qquad m[n,j]=v_n;$

For $i=n-1$ To $2$ Do
$\qquad$For $j=0$ To $w_i-1$ Do
$\qquad \qquad m[i,j]=m[i+1,j]$

$\qquad$For $j=w_i$ To $C$ Do
$\qquad\qquad m[i,j]=max\{m(i+1,j),m(i+1,j-w_i)+v_i\};$

IF $C \lt w_1$ Then $m[1,C]=m[2,C];$
$\qquad \qquad Else \; m[1,C]=max\{m[2,C],m[2,C-w_1]+v_1\};$

取消假设$w_i-1 \lt C$

For $j=0$ To $min(w_n-1,C)$ Do
$\qquad m[n,j]=0;$

For $j=w_n+1$ To $C$ Do
$\qquad m[n,j]=v_n;$

For $i=n-1$ To $2$ Do
$\qquad$For $j=0$ To $min(w_n-1,C)$ Do
$\qquad \qquad m[i,j]=m[i+1,j]$

$\qquad$For $j=w_i$ To $C$ Do
$\qquad\qquad m[i,j]=max\{m(i+1,j),m(i+1,j-w_i)+v_i\};$

IF $C \lt w_1$ Then $m[1,C]=m[2,C];$
$\qquad \qquad Else \; m[1,C]=max\{m[2,C],m[2,C-w_1]+v_1\};$

算法复杂性：