最长公共子序列 动态规划

子序列
$X=(A,B,C,B,D,B)$
$W=(B,D,A)是X的子序列？$NO
$Z=(B,C,D,B)是X的子序列？$YES

公共子序列
$Z是序列X与Y的公共子序列如果Z是X的子序列也是Y的子序列$

最长公共子序列
输入：$X=(x_1,x_2,.....,x_m),Y=(y_1,y_2,...,y_n)$
输出：X与Y的最长公共子序列$Z=(z_1,z_2,....,z_k)$

最长公共子序列结构分析
第i前缀
设$X=(x_1,x_2,.....x_n)是一个序列$
$X_i=(x_1,.....,x_i)$是X的第i前缀

例：$X=(A,B,D,C,A),X_1=(A),X_2=(A,B),X_3=(A,B,D)$

优化子结构的猜想
$设X和Y的LCS为LCS_{XY}=(z_1,....,z_k)$
if $x_m=y_n$
$LCS_{XY}=LCS_{X_{m-1}Y_{n-1}}+<x_m=y_n>$
if $x_m \neq y_m,z_k \neq x_m$
$LCS_{XY}=LCS_{X_{m-1}Y_n}$
if $x_m \neq y_m,z_k \neq y_n$
$LCS_{XY}=LCS_{X_{m}Y_{n-1}}$

$LCS_{XY}=max\{{LCS_{X_{m-1}Y_n},LCS_{X_{m}Y_{n-1}}}\}$

优化子结构的证明
思路：对于LCS问题，把最优解分解成两部分，且保证子问题无关性，对两部分分别用反正法，即假定两个子问题的最优解不是最优的，通过“剪切粘贴”构造另一个子最优解，把构建后的子最优解粘贴到原问题中，得出矛盾。

情况一：$X=<x_1,....,x_{m-1}>,Y=<y_1,......,y_{n-1},x_m>，则z_k = x_m=y_n 且LCS_{XY}=LCS_{X_{m-1}Y_{n-1}}+<x_m=y_n>$

证明 设$Z=Z_{k-1}+Z_k$是X和Y的一个最长公共子序列。
$若z_k \neq x_m$可加$x_m=y_n$到Z，得到一个长为k+1的X与Y的公共序列，与Z是最长公共子序列LCS矛盾，于是，$z_k=x_m=y_n$,
若$Z_{k-1} \neq LCS_{X_{m-1}Y_{n-1}}$
存在$X_{m-1}和Y_{n-1}$的公共子序列Z’,$|Z‘| \gt |Z_{k-1}|$。
于是$|Z‘+<x_m=y_n>| \gt |LCS_{XY}=Z_{k-1}+<x_m=y_n>|$
与$LCS_{XY}$是LCS矛盾。

情况二和情况三证明略。

子问题重叠性
$LCS_{X_{m-1}Y_{n-1}}$的子问题$LCS_{X_{m-2}Y_{n-2}}$
$LCS_{X_{m-1}Y_{n}}$的子问题$LCS_{X_{m-2}Y_{n-2}}$

建立LCS长度的递归方程
$C[i,j]=X_i与Y_j的LCS的长度$
$LCS长度的递归方程$

$C[i,j]=0$ if i=0或j=0
$C[i,j]=C[i-1,j-1]+1$ if i,j>0 and $x_i=y_j$
$C[i,j]=Max\{C[i-1,j],C[i,j-1]\}$ if i,j>0 and $x_i \neq y_j$

自底向上计算优化解代价
C[0,0] C[0,1] C[0,2] C[0,3] C[0,4]
C[1,0] C[1,1] C[1,2] C[1,3] C[1,4]
C[2,0] C[2,1] C[2,2] C[2,3] C[2,4]
C[3,0] C[3,1] C[3,2] C[3,3] C[3,4]

如果想要计算C[3,4]，需要先计算
C[2,3] C[2,4]
C[3,3]

如果要计算C[2,3]，需要计算
C[1,2] C[1,3]
C[2,2]

如果要计算C[3,3] ，需要计算
C[2,2] C[2,3]
C[3,2]

……..所以最先要计算的是
C[0,0] C[0,1] C[0,2] C[0,3] C[0,4]
C[1,0]
C[2,0]
C[3,0]

之后根据递归公式逐行计算
C[0,0] C[0,1] C[0,2] C[0,3] C[0,4]
C[1,0] $\color{red}{C[1,1] C[1,2] C[1,3] C[1,4]} \downarrow$
C[2,0] $\color{blue}{C[2,1] C[2,2] C[2,3] C[2,4]}\downarrow$
C[3,0] $\color{fuchsia}{C[3,1] C[3,2] C[3,3] C[3,4]}$

计算LCS长度的算法
数据结构：
$C[0:m,0:n]:C[i,j]记录X_i与Y_j的LCS的长度$
$C[1:m,1:n]:B[i,j]记录优化解的信息$

构造最优解
从B[m,n]开始按指针搜索
若B[i,j]=$"\nwarrow"$,则$x_i=y_j是LCS的一个元素$
如此找到的LCS是X与Y的LCS的Inverse