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Hardy-Littlewood 极大函数的可积性

时间:2014-08-03 07:49:54      阅读:209      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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谨以此文纪念讨论班上遇到的可爱妹纸。

在 Stein 的实分析上看到这个东西,据说是个很有用的发明。极大函数定义为对函数在某点附近取球平均,再对所有不同的球取上确界。其实细分有两种,一种是所有含该点的球,另一种是只考虑以该点为圆心的球。即

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两种定义区别没那么大,很容易说明 bubuko.com,布布扣 左边由于取上确界的“定义域”有包含关系,是显然的;右边假设 M* 找的那个球半径是 r ,那么让 M 找个 2r 半径的球就能吞下了。

 

断言1) 对非零的可积函数 f ,|x| 充分大时,有 Mf >= c/|x|^n 从而 Mf 不可积。

分析:不妨设 |f| 全空间积分为1,找个足够大的球让其积分超过 1/2 没问题,取平均时把这整个球吞下,分母球体积那部分增大造成的衰减就是 1/|x|^n 阶的。

断言2) 函数 f 支撑在单位球B内,f 在 B 上可积,Mf 在 B 上可积,则对任意的 a>0 Mf 在 {Mf>a} 上可积。

分析:两边的衰减至少也是 1/dist(x,B)^n 阶的趋于零,所以 {Mf>a} 是个有界区域。在 {1<|x|<1+d} 上的积分可以与 {1-d<|x|<1} 上的积分作比较,对这两个区域沿着半径作一个相对球面对称的正则映射,对应点处的极大函数值可以逐点地比较(B内对称点的极大函数值不小于B外那一点,选同样大的球取平均,内环里的点就能完全把交集的部分包进去)。其实是在说,极大函数在最坏的地方可积,那么如果不考虑断言1中全空间上衰减的问题,极大函数在相当的范围内都可积。

断言3)

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分析:这是对建立在 Vitali 覆盖引理 上的 weak-type 不等式的一点小改进,把全空间的积分分为 {|f|>a/2} 和 {|f|<=a/2} 的部分,然后对后者进行缩放。以出现一个2倍的代价(作为一个绝对常数,在分析中几乎就是没有代价),换取的是全空间的积分变为函数值有正的下确界区域上的积分,相当合算的买卖。

断言4)

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分析:这个反方向的不等式建立在 Calderón–Zygmund 覆盖引理 之上。我们把全空间分成网格状(mesh),当网眼(Cube)很大时,函数在每个网格里的均值不大于a;然后一次次细分网格,如果某次细分均值从小等于a变成了大于a,那么由细分体积关系就可以得到一个双边的估计,有点像之前对 M 和 M* 做的那样。应用该引理对 a>0 找到相应的 Cubes,正向的不等式可以连接网格均值和极大函数;反向的不等式则正好帮助我们估计这样的网格的测度。即

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准备工作全部就绪,我们有下面这个非常漂亮的定理,说明了极大函数的局部可积性与原函数局部可积性之间的关系。

定理:函数 f 支撑在单位球B内,f 在 B 上可积,则 Mf 在 B 上可积,等价于 |f|log|f| 在 B 上可积。

证明:通过交换积分次序(以及 f 支撑在 B 上的事实),有

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用上断言4

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因为若 Mf 在 B 上可积,则在 {Mf>1} 上可积(断言2),充分性得证。

反之若 |f|log|f| 在 B 上可积,有

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用上断言3

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然后像第一个式子那样把积分次序调换回来即可。

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