梯度下降、牛顿法和拉格朗日对偶性

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这篇文章主要介绍梯度下降、牛顿法和拉格朗日对偶性的过程和一些原理的证明。

梯度下降：

假设$f(x),x\in R^{n}$，有一阶的连续偏导数，要求解的无约束最优化问题是：

            $\min \limits_{x\in R^{n}}f(x)$

$x^*$表示目标函数$f(x)$的极小点。

首先解释一下为什么梯度下降可行：对于一个有一阶连续偏导数的凸函数，若存在函数的极小值点，让x不断地往函数值减少的方向移动，最终会到达一个不动点，而这个不动点，就是函数f(x)的极小值点。选择负梯度方向，可以让x更快地到达不动点的位置。

负梯度的方向为什么是下降最快的方向呢？下面先证明一下：

方向导数定义：

记$z=f(x,y)$在$M_0=(x_0,y_0)$处可微，则$f(x,y)$在$M_0$沿着任意方向$l=(cos \ a,cos \ b)$存在方向导数，且：

$\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial l}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}cos \ a+\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}cos \ b$

因此，$z=f(x,y)$在$M_0$的沿着的方向导数可以改写成：

$\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial l}=(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x},\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y})\centerdot(cos \ a,cos \ b)$$=\triangledown f(x_0,y_0)\centerdot l=|\triangledown f(x_0,y_0)|cos<\triangledown f(x_0,y_0),l>$

从$cos<\triangledown f(x_0,y_0),l>$部分可以看到，如果$\triangledown f(x_0,y_0)$和下降方向反向，那么$cos<\triangledown f(x_0,y_0),l>=cos \pi=-1$

，这是$cos<\triangledown f(x_0,y_0),l>$的最小值，因此，可以证明，负梯度方向是下降最快的方向。（注：被面试官问过，印象太深刻了，特意在此加上这段）

言归正传，下面就得介绍梯度下降了的方法了：

由于$f(x)$具有一阶连续偏导，因此，它在点$(x_k,y_k)$处沿着负梯度方向的导数是：

$g_k=g(x_k)=\triangledown f(x_k)$

设定一个下降步长$\eta_k$，如果我们把梯度下降这一个过程看作是从山上走到山谷的过程，那么  $\eta_k$描述的是我们从$x_k$位置走到$x_{k+1}$位置所走的每一步的步幅，也可以称为步长。于是，

就有：$x_{k+1}\gets x_k-\eta_k*(-\triangledown f(x_k))$

即：$x_{k+1}\gets x_k+\eta_k*\triangledown f(x_k)$

梯度下降的算法的步骤如下：

输入：目标函数$f(x)$，梯度函数$g(x)=\triangledown f(x)$，误差$\varepsilon$

输出：$f(x)$的极小值点$x^*$

取初始值$x^{(0)}\in R$，置$k=0$

（1）   计算$f(x^{(k)})$

（2）   计算梯度$g_k=g(x^{(k)})$，当$||g_k||<\varepsilon$时，停止迭代，令$x^*=x^{(k)}$；

否则，取步长$\eta_k$，令$x_{k+1}\gets x_k+\eta_k*\triangledown f(x_k)$，计算$f(x^{(k+1)})$，

当$||f(x^{(k+1)})-f(x^(k))||<\varepsilon$或者$||x^{(k+1)}-x^{(k)}||<\varepsilon$，停止迭代，$x^*=x^{(k+1)}$

（3）       否则$k=k+1$，转（2）

当目标函数是凸函数时，梯度下降的解是全局最优解，一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降的收敛速度也未必是最快的。

牛顿法：

假设$f(x),x\in R^{n}$，有二阶的连续偏导数，要求解的无约束最优化问题是：

　　　　　　$\min \limits_{x\in R^{n}}f(x)$

$x^*$表示目标函数$f(x)$的极小点。

由于$f(x)$有二阶连续偏导，因此，可以将$f(x)$在$x=x_k$处泰勒展开：

$f(x)=f(x^{(k)})+g^{T}_{k}(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}(x-x^{(k)})^{T}H(x^{(k)})(x-x^{(k)}) \ \ (N_1)$

考虑到$f(x),x\in R^{n}$有极值的必要条件是$\triangledown f(x)=0$，

假设，第k+1次迭代值为$x^{(k+1)}$，假设满足：$\triangledown f(x^{(k+1)})=0$

由$(N_1)$可得： $\triangledown f(x)=g_{k}+H_k(x-x^{(k)})$

于是：$\triangledown f(x^{(k+1)})=g_k+H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)})=0$

所以，可得迭代方程为：$x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_{k}^{-1}g_k$

算法-牛顿法：

输入：目标函数$f(x)$，梯度$g(x)=\triangledown f(x)$，海赛矩阵$H(x)$，精度

输出：$f(x)$的极小值点$x^*$

（1）       取初始值$x^{(0)}$，k=0

（2）       计算$g_k=g(x^{(k)})$

（3）       若$||g_k||<\varepsilon$，停止计算，返回近似解$x^*=x^{(k)}$

（4）       计算$H_k=H(x^{(k)})$

（5）       $x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_{k}^{-1}g_k$

（6）       令 $k=k+1$，转（2）

其中，求$H_{k}^{-1}$的计算比较复杂，所以，在这个基础上，有改进办法。主要的思想是使用一个矩阵来近似$H^{-1}$，详细过程会在后面总结，此处不详细说。

拉格朗日对偶性

前面梯度下降和牛顿法都是解决无约束条件的最优化问题的办法，但是，要是遇到了有约束的最优化问题，就得将约束条件考虑进来。

（1）原始问题

假设$f(x),c_{i}(x),h_j(x),x\in R^{n}$，是连续可微函数，考虑约束最优化问题：

　　　　$\min \limits_{x\in R^{n}}f(x)$

$s.t. \ c_i(x)\leq 0,i=1,2,3...,k$

          $h_j(x)=0,i=1,2,3...,l$

引进广义拉格朗日函数：

         $L(x,a,b)=f(x)+\sum_{i=1}^{k}a_ic_i(x)+\sum_{j=1}^{l}b_jh_j(x)$

记  $\theta_p(x)=\max \limits_{a,b:a_i\geq 0} \ L(x,a,b)$

当且仅当$\theta_p(x)$满足问题的约束条件时，$\theta_p(x)=f(x)$，否则$\theta_p(x)=+\infty$

当满足约束条件的情况下，再求$\min \limits_{x\in R^{n}} \ \theta_p(x)$将等价于求$\min \limits_{x\in R^{n}}f(x)$

将$\theta_p(x)=\max \limits_{a,b:a_i\geq 0} \ L(x,a,b)$代入，将得到：

$\min \limits_{x\in R^{n}} \ \theta_p(x)=\min \limits_{x\in R^{n}} \max \limits_{a,b:a_i\geq 0} \ L(x,a,b) \ \ (L)$

上面的问题（L）被称为拉格朗日函数的极小极大值问题。

（2）对偶问题：

定义$\max \limits_{x\in R^{n}} \ \theta_D(x)=\max \limits_{a,b:a_i\geq 0} \min \limits_{x\in R^{n}} \ L(x,a,b)$是$(L)$的对偶问题。其中$\max \limits_{a,b:a_i\geq 0} \min \limits_{x\in R^{n}} \ L(x,a,b)$被称为拉格朗日函数的极大极小值问题。

所以，上面的定义可以描述如右：拉格朗日函数的极大极小值问题是极小极大值问题的对偶问题。（我在这里有一个疑惑：拉格朗日函数的极小极大值问题是极大极小值问题的对偶问题么？）

拉格朗日对偶性的想法是，希望能够找到一个条件，能够让原始问题和对偶问题同解。然后，就有人去找了，此处省略10000字。最终，他们找到了这个条件，称为对偶互补条件，又称为KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。

假设$f(x),c_{i}(x)$是凸函数，$h_j(x)$是仿射函数（见注释），$x^*,a^*,b^*$是原始问题和对偶问题的解的充要条件如下：

$\triangledown_xL(x^*,a^*,b^*)=0$

$\triangledown_aL(x^*,a^*,b^*)=0$

$\triangledown_bL(x^*,a^*,b^*)=0$

$a^{*}_{i}c_{i}(x^*)=0, \ i=1,2,3....,k$

$c_{i}(x^*)\leq 0, \ i=1,2,3....,k$

$a^{*}_{i}\geq 0, \ i=1,2,3....,k$

$h_{j}(x^*)=0, \ i=1,2,3....,l$

特别地若$a^{*}_{i}>0$，$c_{i}(x^*)=0$

注：仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。

在满足KKT条件的情况下，可以将原始问题转化成对偶问题来求解，这时候，可以根据KKT条件和对偶性来简化原始问题。具体的例子，将会在求解SVM的目标函数中看到。

梯度下降、牛顿法和拉格朗日对偶性

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